Question

Quantos Múltiplos de 9 ou 15 há entre 100e1000

Answer 1

Tantos os múltiplos de 9 como os de 15 crescem em uma PA cuja razão é o próprio número(9 ou 15) Assim precisamos determinar inicialmente qual o primeiro e o último múltiplo de 9 e 15 entre 100 e 1000 e em seguida determinar o número de termos. 

De 9: 
a1 = 108 
an = 999 
Aplicando o termo geral: 
an = a1 + (n-1)r 
999 = 108 + (n-1).9 
882 = 9n - 9 
n = 100 

De 15: 
a1 = 105 
an = 990 
Aplicando termo geral: 
990 = 105 + (n-1).15 
885 = 15n - 15 
15n = 900 
n = 60 

Porém neste caso podem haver números que são múltiplos de 9 e 15 e portanto estaríamos contando-os duas vezes. 
Os múltiplos de 9 e 15 crescem numa PA cuja razão é o mmc(15;9) = 45 
Assim para os múltiplos de 9 e 15: 
a1 = 135 
an = 990 
Aplicando o termo geral: 
990 = 135 + (n-1).45 
885 = 45n - 45 
900 = 45n 
n = 20 

Assim o Número N de múltiplos de 9 e 15 entre 100 e 1000 serão: 
N = 100 + 60 -20 
N = 140 

Answer 2

Há 140 múltiplos de 9 ou 15 entre 100 e 1000.

Temos que achar o primeiro e o último múltiplo do 9 e do 15 entre 100 e 1000.

Múltiplos de 9

O primeiro depois de 100 é 108. O último antes de 1000 é 999.

Agora, para calcularmos a quantidade de múltiplos, basta utilizarmos o conceito de progressão aritmética, pois a diferença entre os múltiplos sempre é de 9 unidades.

Assim, temos:

a₁ = 108

an = 999

r = 9

an = a₁ + (n - 1).r

999 = 108 + (n - 1).9

999 = 108 + 9n - 9

999 = 99 + 9n

9n = 999 - 99

9n = 900

n = 900/9

n = 100

100 múltiplos de 9.

Múltiplos de 15

O primeiro depois de 100 é 105. O último antes de 1000 é 990.

De novo, utilizaremos o conceito de progressão aritmética, pois a diferença entre os múltiplos sempre é de 15 unidades.

Assim, temos:

a₁ = 105

an = 990

r = 15

an = a₁ + (n - 1).r

990 = 105 + (n - 1).15

990 = 105 + 15n - 15

990 = 90 + 15n

15n = 990 - 90

15n = 900

n = 900/15

n = 60

60 múltiplos de 15.

No entanto, há múltiplos comuns entre 9 e 15. Então, precisamos subtraí-los desse total para não contarmos duas vezes.

O primeiro múltiplo comum de 9 e 15 depois de 100 é 135. O último antes de 1000 é 990. Há diferença entre eles sempre é de 45 unidades. Logo:

a₁ = 135

an = 990

r = 45

an = a₁ + (n - 1).r

990 = 135 + (n - 1).45

990 = 135 + 45n - 45

990 = 90 + 45n

45n = 990 - 90

45n = 900

n = 900/45

n = 20

20 múltiplos comuns de 9 e 15.

Portanto, temos:

100 + 60 - 20 =

160 - 20 = 140 múltiplos de 9 ou 15.

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