Question

Em R, obtenha o conjunto solução da equaçao sen^2x+cosx+1=0

Answer 1

Para satisfazer essa equação, basta achar um ângulo que satisfaça a equação. Como o sen está ao quadrado, vai resultar sempre num valor positivo. Então, dependemos para zerar a equação apenas do cosseno. Pensa comigo: o menor valor que o cosseno pode assumir é -1, e o máximo é 1. E esse valor -1 é o que pode satisfazer essa equação, pois -1+1= 0. Mas você pode pensar: e como fica o sen²? Pela relação fundamental da trigonometria, que você talvez ainda não tenha visto, temos: sen²x+cos²x=1. Ou seja, se pegarmos o valor máximo ou mínimo do cosseno, teremos sempre que o senx = 0, pois cosx = -1 ou 1, teremos cos²x = 1. Ou seja, o seno vai zerar. O mesmo pensamento podemos usar na equação acima. Então, só nos resta achar o ângulo que faz esse cosseno ser igual a -1. E esse ângulo é = 180° ou Pi. Isso você pode ver facilmente por um círculo trigonométrico, quando começa a estudar funções trigonométricas. Então, a equação é satisfeita pois sen²180 = 0.0 = 0  e cos180 = - 1. Qualquer dúvida, pode me mandar.

Answer 2

$\sin^2x+\cos x+1=0\\\\(1-\cos^2x)+\cos x+1=0\\\\y=\cos x\\\\1-y^2+y+1=0\\\\y^2-y-2=0\\\\\Delta=1+8\\\\\Delta=9\\\\y=\dfrac{1\pm3}{2}\\\\y=2\ ou\ y=-1$

Entao temos que:

cosx=2
entao:
x∉ℝ

e

cosx=-1

Sabemos que quem tem cosseno -1 eh π e todos seus multiplos entao:

$x=\pi+2k\pi,\ k\in Z$