Question

Considere uma pirâmide quadrangular regular inscrita em um cub9 de 2 cm de aresta. A razão entre as áreas totais da pirâmide e do cubo, vale:

Answer 1

O apótema "m" da pirâmide (segmento que liga seu vértice ao ponto médio do lado da base da pirâmide) em conjunto com sua altura h e metade do lado de sua base formam um triângulo retângulo de hipotenusa m e catetos h e ℓ/2.

Pelo teorema de Pitágoras, temos:

$\displaystyle m^2 = h^2 + \left(\frac{l}{2}\right)^2$

A altura h dessa pirâmide corresponde à aresta lateral do cubo, ou seja, 2 cm. E metade de sua base, 1 cm. Assim:

$\displaystyle m^2 = 2^2 + 1^2$

$\displaystyle m^2 = 5$

$\displaystyle m = \hspace{0,08cm} \sqrt[]{5}$

Com o apótema, podemos achar a área de um de seus triângulos laterais e depois multiplicar por 4, que é o número de triângulos, afim de obter a área lateral Al da pirâmide.

$\displaystyle A_l = 4 \cdot \frac{ m \cdot l} {2}$

$\displaystyle A_l = 4 \cdot \frac{\sqrt[]{5} \cdot 2}{2}$

$\displaystyle A_l = 4 \hspace {0,08cm} \sqrt[]{5}$

A área total da pirâmide será a soma da área da base mais a área lateral:

$\displaystyle A_t = A_b + A_l$

$\displaystyle A_t = 2^2 + 4 \hspace {0,08cm} \sqrt[]{5}$

$\displaystyle A_t = 4 \cdot (1 + \hspace {0,08cm} \sqrt[]{5}) cm^2$

A área total AT de um cubo corresponde a 6ℓ² = 6 . 2² = 24 cm²

Portanto, a razão entre as duas áreas será:

$\displaystyle r = \frac{4 \cdot (1 + \hspace {0,08cm} \sqrt[]{5})cm^2}{24}$

$\displaystyle r = \frac{1 + \hspace {0,08cm} \sqrt[]{5}}{6} cm^2$

Alternativa a.

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