Question

No cubo da figura a seguir, fez-se um corte pelo plano que passa pelos vértices A, C e N, retirando-se o sólido (ABCN) assim obtido.
Sabendo-se que o cubo tem aresta 8 cm, qual o volume do sólido restante?

Answer 1

$Desenhos \ fora \ de \ escala \ e \ tamb\acute{e}m \ \acute{e} \ preciso \ um \ pouco \ de \ f\acute{e} \ no\\ anexo \ tr\hat{e}s$

$Antes\ de\ tudo\ abra\ o\ anexo \ (1)\ .\\\\ Temos\ que\ a\ aresta\ do\ cubo\ mede\ 8\ cm\ e\ que\ \overline{AB}\ ,\ \overline{BN}\ ,\ \overline{BC} \\ s\tilde{a}o\ arestas\ respectivamente\ do\ cubo\ e\ da\ pir\hat{a}mide\ .\\\\ Os\ demais\ lados\ desse\ pir\hat{a}mide\ s\tilde{a}o\ \overline{AN}\ ,\ \overline{NC}\ e\ \overline{AC}\ que\ s\tilde{a}o\\ nessa\ figura\ as\ diagonais\ dos\ quadrados\ que\ comp\tilde{o}em\ as\\ faces\ desses\ cubo\ .\ Se\ \overline{AB}\ =\ \overline{BN}\ =\ 8\ ,\ ent\tilde{a}o$

$\overline{AN}\ =\ \overline{AB}\ .\ \sqrt{2}\\\\ \overline{AN}\ =\ 8\ .\ \sqrt{2}\\\\ Como \ temos \ que \ as \ diagonais \ s\tilde{a}o \ todas \ iguais \ podemos \\ calcular \ direto \ as \ demais \ diagonais \ , \\\\ \overline{AN}\ =\ \overline{NC}\ =\ \overline{AC}\ =\ 8\sqrt{2}$


$Analisando \ a \ face \ ACN \ temos \ que \ um \ tri\hat{a}ngulo \ equil\acute{a}tero \\ formado \ pelas \ segmento \ \overline{AN}\ ,\ \overline{NC}\ e\ \overline{AC}\ e\ que \ medem \ 8\sqrt{2} \\ cm \ cada \ segmento \ . \\\\ Olhar \ anexo \ (2) \\\\ Na \ geometria \ temos \ uma \ propriedade \ que \ diz \ que \ o \ baricentro \\ de \ um \ tri\hat{a}ngulo \ equil\acute{e}tero \ divide \ a \ altura \ em \ dois \ segmentos \\ que \ correspondem \ a \ \frac{1}{3} \ e \ \frac{2}{3} \ da \ mesma \ .$

$Assim \ temos \ que \ o \ segmento \ k \ , \\\\ k \ = \ \frac{2}{3} \ . \ h \\\\ A \ altura \ de \ um \ tri\hat{a}ngulo \ equil\acute{a}tero \ pode \ ser \ estimada \\ por \ h \ = \ l \ . \ \frac{\sqrt{3}}{2} \ , \ sendo \ l \ = \ 8\sqrt{2}\\\\ k \ = \ \frac{2}{3} \ . \ \frac{ \sqrt{3} }{2} \ . \ 8\sqrt{2} \\\\ k = 8 \ . \ \frac{ \sqrt{6} }{3} \ cm$

$Olhar \ anexo \ (3) \ , \\\\ Fazendo \ pit\acute{a}goras \ no \ tri\hat{a}ngulo \ BTC \ , \\\\ \overline{BC}^2 \ = \ \overline{TC}^2 \ + \ \overline{BT}^2 \\\\ Como \ \ \overline{TC} \ = \ k \ \ e \ \ \overline{BC} \ = 8 \ , \ temos \ que \ : \\\\ 8^2 \ = \ \Big(8 \ . \ \frac{\sqrt{6} }{3}\Big)^2 \ + \ \overline{BT}^2 \\\\ \overline{BT} \ = \ \frac{8}{ \sqrt{3} } \ cm$

$O \ segmento \ \overline{BT} \ corresponde \ a \ altura \ da \ pir\hat{a}mide \ correspondente \\ a \ face \ ACN \ . \ Agora \ para \ calcularmos \ o \ volume \ recorreremos \\ a \ f\acute{o}rmula \ , \\\\ V = \ \frac{1}{3} \ . \ h \ . \ Ab \\\\ Como \ h \ = \ k \ e \ Ab \ corresponde \ a \ \acute{a}rea \ do \ tri\hat{a}ngulo \ ACN \ que \\ por \ sua \ vez \ \acute{e} \ equil\acute{a}tero \ , \ ent\tilde{a}o \ : \\\\ V = \ \frac{1}{3} \ . \ k \ . \ l^2 \ . \ \frac{ \sqrt{3} }{4}$

$V \ = \ \frac{1}{3} \ . \ \frac{8}{ \sqrt{3} } \ . \ (8 \sqrt{2} )^2 \ . \ \frac{ \sqrt{3} }{4} \\\\ V = \ \frac{1}{3} \ . \ 2 \ . \ 128 \\\\ V = \ \frac{256}{3} \ cm^3$

$O \ volume \ restante \ (V_R) \ pode \ ser \ obtido \ pela \ diferen\c{c}a \ entre \ o \\ volume \ do \ cubo \ (V_C) \ e \ da \ pir\hat{a}mide (V) \ , \\\\ V_R \ = \ V_C \ - \ V \\\\ V_R \ = \ 8^3 \ - \frac{256}{3} \\\\ V_R \ = \ \frac{1280}{3} \ cm^3$