Question

Progressão aritmética de 9 termos tem razão 2 e a soma de seus termos é igual a zero. O sexto termo da progressão é

Answer 1

Se são nove termos e suas somas tem que ser igual a zero a quantidade de números negativos e positivos tem que ser igual, e além disso o termo do meio, nesse caso o $a_5$ tem que ser igual a zero.
Logo o $a_6$ tem que ser 2

Answer 2

Vou tomar uma aproximação relativamente incomum.

A progressão aritmética tem sua soma dada por:
9(a1 + a9)/2 = 0
Multiplicando ambos os lados por 2/9, temos que
a1 + a9 = 0.
a1 = -a9

Ou seja, o primeiro termo e o último termo são opostos.
Como é uma progressão aritmética, podemos afirmar que
a(1 + n) = -a(9 - n)

Então sabemos que:
a2 = -a8
a3 = -a7
a4 = -a6
a5 = -a5
a6 = -a4... etc.

No quinto termo, percebemos que ele é seu próprio oposto. Existe apenas um número real que satisfaz a equação x = -x, que é 0. Portanto, o quinto termo é 0.
a5 = 0.
Sabemos que o enésimo termo é dado por an = a(n - 1) + r. Portanto, temos:
a6 = a5 + 2
a6 = 0 + 2
a6 = 2
Seu sexto termo vale 2.
Espero ter ajudado.