Question

para quais valores reais de x a função f(x) = x² + 5x + 5m assume valores positivos para todo x real?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Tata, que a pergunta deverá ser esta: para que valores reais de "m" a função f(x) = x² + 5x + 5m será sempre positiva para todo "x" real?

Entendendo dessa forma, então veja que:

i) Uma função do 2º grau, da forma f(x) = ax² + bx + c, com o termo "a" positivo e SEM raízes reais, então ela será sempre positiva para todo e qualquer valor real de "x".

ii) Uma função do 2º grau, da forma f(x) = ax² + bx + c, com o termo "a" negativo e SEM raízes reais, então ela será sempre negativa para todo e qualquer valor real de "x".

iii) Dessa forma, deveremos ir na função da sua questão [f(x) = x² + 5x + 5m] e vamos impor que o seu delta seja menor do que zero,pois só assim a função da sua questão não terá raízes reais.
Note que o delta (b²-4ac) da equação da sua questão é este: 5² - 4*1*5m.Então vamos impor que esse delta seja menor do que zero. Assim:

5² - 4*1*5m < 0
25 - 20m < 0 ---- vamos colocar "25" para o 2º membro, ficando:
- 20m < - 25 ----- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos;
20m > 25 ---- (note: quando se multiplicou por "-1" o sentido da desigualdade muda: o que era "<" passa pra ">" e vice-versa). Assim, repetindo do estágio em que ficamos acima, temos:

20m > 25 ------ isolando "m", teremos;
m > 25/20 ---- simplificando tudo por "5", teremos:
m > 5/4 ---- como 5/4 = 1,25, então teremos:
m > 1,25 <--- Esta será a resposta. Se "m" for maior do que "5/4" (ou 1,25,o que é a mesma coisa), a função da sua questão será SEMPRE positiva para todo e qualquer "x" real. Veja que o termo "a" da equação da sua questão é positivo. Então, se a equação não tiver raízes reais, a função será sempre positiva para todo e qualquer valor real de "x".
Por isso é que a nossa resposta foi a que demos aí em cima.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.