Question

Um prisma hexagonal regular tem 192√3 m³ de volume e a área de sua superfícies lateral é igual a 192 m2 .Determine a medida do lado do hexágono e a altura do prisma .
Obs: coloquem o passo a passo pois não entendi ja tentei de tudo mais não consigo fazer essa

Answer 1

O Volume de um prisma hexagonal é a área da base vezes a altura:

$V_{olume} = A_b.h$

A área da base são seis triângulos equiláteros, porque o prisma é um hexágono regular que pode ser divido nesses seis triângulos. A área lateral são 6 retângulos iguais, tendo a altura e a aresta dos triângulos como medida, assim:

$A_l = 6.l.h$

Fazendo:

$A_l = 6.l.h \\ 192 = 6.l.h \\ \\ h = \frac{192}{6l} \\ \\ h = \frac{32}{l}$

Não deu pra descobrir a altura ou a aresta numa única conta, mas deu pra descobrir a altura em função da aresta, então é só substituir na outra fórmula:

$A_b.h = V \\ \\ 6.\frac{l^2 \sqrt{3} }{4}.\frac{32}{l} = 192 \sqrt{3} \\ \\ \frac{192l^2 \sqrt{3} }{4l} = 192 \sqrt{3} \\ \\ 48l \sqrt{3} = 192 \sqrt{3} \\ \\ l = \frac{192 \sqrt{3} }{48 \sqrt{3} } \\ \\ l = 4m$

Bem complicadinho, mas deu pra descobrir o lado, agora é só substituir no que a gente encontrou na altura:

$h = \frac{32}{l} \\ \\ h= \frac{32}{4} \\ \\ h = 8m$