Question

As colunas da tabela abaixo formam progressões geométricas todas da mesma razão q e as linhas são progressões aritméticas.
a)Determine a razão de cada progressão aritmética;
b)Determine a razão q das progressões geométricas;
c)Complete a tabela:

Answer 1

Olá.

Não tem como responder as questões de forma linear, pois tem partes que inter-relacionam. Vou desenvolver e no final comento os resultados. Vamos aos cálculos.

 

Para encontrar a razão de uma PA, podemos considerar o seguinte:

aₙ = a₁ + (n - 1) × r

 

Com isso, teremos também:

a₁ = a₁ + 0r

a₂ = a₁ + 1r

a₃ = a₁ + 2r

 

Como sabemos o valor de a₃ e a₁, podemos substituí-los na última expressão para obter o valor da razão da PA. Teremos:

$\mathsf{a_3=a_1+2r}\\\\ \mathsf{14=1+2r}\\\\ \mathsf{14-1=2r}\\\\ \mathsf{13=2r}\\\\ \mathsf{\dfrac{13}{2}=r}\\\\ \boxed{\mathsf{6,5=r}}$

A razão da PA₁ é 6,5. Sabendo a razão, podemos descobrir o valor de a₂.Teremos:

a₂ = a₁ + 1r

a₂ = 1 + 6,5

a₂ = 7,5

 

Já podemos substituir o a₂ da PA₁ na tabela.

 

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Temos agora o a₁ e a₂ da PG₂. Com isso, podemos encontrar a razão da PG.

A razão (q) de uma PG pode ser encontrada através da divisão de um termo por seu antecessor. Teremos:

$\mathsf{q=\dfrac{a_n}{a_{n-1}}}\\\\\\ \mathsf{q=\dfrac{a_2}{a_{1}}}\\\\\\ \mathsf{q=\dfrac{60}{7,5}}\\\\\\ \mathsf{q=8}$ 

 

Sabendo o valor da razão das PGs, podemos calcular todos os termos/valores restantes na tabela.

 

Podemos considerar o seguinte:

$\mathsf{a_n=a_1\times q^{n-1}}$

$\mathsf{a_1=a_1\times q^{0}}\\\\\mathsf{a_2=a_1\times q^{1}}\\\\\mathsf{a_3=a_1\times q^{2}}\\\\\mathsf{a_4=a_1\times q^{3}}$

 

Substituindo os valores de a₁ e q, em todas as PGs, vamos aos cálculos.

 

Para PG₁, teremos:

$\mathsf{a_1=1\times8^{0}=1\times1=1}\\\\\mathsf{a_2=1\times8^{1}=1\times8=8}\\\\\mathsf{a_3=1\times8^{2}=1\times64=64}\\\\\mathsf{a_4=1\times8^{3}=1\times512=512}$

Para PG₂, teremos:

$\mathsf{a_1=7,5\times8^{0}=7,5\times1=7,5}\\\\\mathsf{a_2=7,5\times8^{1}=7,5\times8=60}\\\\\mathsf{a_3=7,5\times8^{2}=7,5\times64=480}\\\\\mathsf{a_4=7,5\times8^{3}=7,5\times512=3840}$

Para PG₃, teremos:

$\mathsf{a_1=14\times8^{0}=\times1=14}\\\\\mathsf{a_2=14\times8^{1}=\times8=112}\\\\\mathsf{a_3=14\times8^{2}=\times64=896}\\\\\mathsf{a_4=14\times8^{3}=\times512=7168}$

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Questão A

As razões das PAs podem ser obtidas através da diferença entre um número e seu antecessor. Teremos:

PA₁ | r = a₂ – a₁ = 7,5 – 1 = 6,5

PA₂ | r = a₂ – a₁ = 60 – 8 = 52

PA₃ | r = a₂ – a₁ = 480 – 64 = 416

PA₄ | r = a₂ – a₁ = 3.840 – 512 = 3.328

Questão B

A razão das PGs é 8.

 

Questão C

Pelo que foi detalhado acima, pôde-se completar a tabela.

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos.