Question

Na figura a seguir, ABCD é um quadrado com 28 cm2 de área e ele está apoiado sobre o lado AE do quadrado maior AEFG.

Os pontos G, A e B estão alinhados.

Qual é a área do triângulo sombreado BDF ?

ALGUEM PRA ME AJUDAR?

Answer 1

Olá.

Para responder essa pergunta, usaremos algumas fórmulas, que demonstro abaixo.

$\diamondsuit~\boxed{\boxed{\mathsf{A_{\square}=b\cdot h}}}$

$\diamondsuit~\boxed{\boxed{\mathsf{A_{\square}=l^2}}}$

$\diamondsuit~\boxed{\boxed{\mathsf{A_{\triangle}=\dfrac{b\cdot h}{2}}}}$

Legenda:
A = área;
b = base;
h = altura;

Devemos ter em mente que o quadrado maior é igual ao quadrado menor adicionado de um valor x. O foco aqui vai ser encontrar o valor da área do triângulo vermelho subtraindo de um retângulo FGBZ todos os "excedentes", que serão: os triângulo ΔFGB, ΔFED, ΔDCB; retângulo EDZC. Em anexo adicionei imagem para facilitar a compreensão.

Algebricamente, teremos:
$\mathsf{A_{\triangle BDF}=A_{\square FGBZ}-(A_{\triangle FGB}+A_{\triangle FED}+A_{\triangle DCB}+A_{\square EDZC})}$

Para o desenvolvimento, podemos usar "fórmulas fechadas" para cada uma das áreas supracitadas. Mas antes, precisamos de saber o valor do lado (l). Teremos:

$\mathsf{A_{\square}=l^2}\\\\\mathsf{28=l^2}\\\\\mathsf{\sqrt{28}=l}\\\\\mathsf{\sqrt{2^2\cdot7}=l}\\\\\mathsf{2\sqrt{7}=l}$

Agora, vamos por partes. Demonstrarei como conseguir a área de cada uma das figuras. Vamos aos cálculos.

$\mathsf{A_{\square FGBZ}=(2l+x)(l+x)}\\\\\mathsf{A_{\square FGBZ}=(2\cdot2\sqrt7+x)(2\sqrt7+x)}\\\\\mathsf{A_{\square FGBZ}=(4\sqrt7+x)(2\sqrt7+x)}\\\\\mathsf{A_{\square FGBZ}=8\cdot7+2\sqrt7x+4\sqrt7x+x^2}\\\\\mathsf{\underline{A_{\square FGBZ}=56+6\sqrt7x+x^2}}$

$\mathsf{A_{\triangle FGB}=\dfrac{(l+x)(2l+x)}{2}}\\\\\mathsf{\underline{A_{\triangle FGB}=\dfrac{56+6\sqrt7x+x^2}{2}}}$

$\mathsf{A_{\triangle FED}=\dfrac{(l+x)(x)}{2}}\\\\\mathsf{A_{\triangle FED}=\dfrac{(2\sqrt7x+x^2)(x)}{2}}\\\\\mathsf{\underline{A_{\triangle FED}=\dfrac{2\sqrt7x+x^2}{2}}}$

$\mathsf{A_{\triangle DCB}=\dfrac{(l+x)(x)}{2}}\\\\\mathsf{A_{\triangle DCB}=\dfrac{28}{2}}\\\\\mathsf{\underline{A_{\triangle DCB}=14}}$

$\mathsf{A_{\square EDZC}=(l)(x)}\\\\\mathsf{A_{\square EDZC}=2\sqrt7\cdot x}\\\\\mathsf{\underline{A_{\square EDZC}=2\sqrt7x}}$

Substituindo os valores da forma algébrica pelos que estão sublinhadas, teremos:

$\mathsf{A_{\triangle~BDF}=(56+6\sqrt7x+x^2)-\left[\left(\dfrac{56+6\sqrt7x+x^2}{2}\right)+\left(\dfrac{2\sqrt7x+x^2}{2}\right)+14+2\sqrt7x\right]}\\\\\\\mathsf{A_{\triangle~BDF}=\dfrac{(56+6\sqrt7x+x^2)\cdot2}{2}-\left[\left(\dfrac{56+6\sqrt7x+x^2}{2}\right)+\left(\dfrac{2\sqrt7x+x^2}{2}\right)+\dfrac{14\cdot2}{2}+\dfrac{2\sqrt7x\cdot2}{2}\right]}\\\\\\\mathsf{A_{\triangle~BDF}=\dfrac{112+12\sqrt7x+2x^2}{2}-\left[\dfrac{56+6\sqrt7x+x^2}{2}+\dfrac{2\sqrt7x+x^2}{2}+\dfrac{28}{2}+\dfrac{4\sqrt7x}{2}\right]}\\\\\\\mathsf{A_{\triangle~BDF}=\dfrac{112+12\sqrt7x+2x^2}{2}-\left[\dfrac{56+6\sqrt7x+x^2+2\sqrt7x+x^2+28+4\sqrt7x}{2}\right]}\\\\\\\mathsf{A_{\triangle~BDF}=\dfrac{112+12\sqrt7x+2x^2}{2}-\left[\dfrac{x^2+x^2+2\sqrt7x+6\sqrt7x+4\sqrt7x+56+28}{2}\right]}\\\\\\\mathsf{A_{\triangle~BDF}=\dfrac{112+12\sqrt7x+2x^2}{2}-\left[\dfrac{2x^2+12\sqrt7x+84}{2}\right]}\\\\\\\mathsf{A_{\triangle~BDF}=\dfrac{112+12\sqrt7x+2x^2-(2x^2+12\sqrt7x+84)}{2}}\\\\\\\mathsf{A_{\triangle~BDF}=\dfrac{112+12\sqrt7x+2x^2-2x^2-12\sqrt7x-84}{2}}\\\\\\\mathsf{A_{\triangle~BDF}=\dfrac{112+\not\!\!12\sqrt7x+\not\!\!2x^2-\not\!\!2x^2-\not\!\!12\sqrt7x-84}{2}}\\\\\\\mathsf{A_{\triangle~BDF}=\dfrac{112-84}{2}}\\\\\\\mathsf{A_{\triangle~BDF}=\dfrac{28}{2}}\\\\\\\boxed{\mathsf{A_{\triangle~BDF}=14}}$

 

A área do triângulo BDF é igual a 14m²

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos.

Answer 2

Olá!

Segue desenho , para melhor entendimento.

Área = Lado do triângulo²
28 = l²
l = √28
l = 2√7 

Área do triângulo = (b.h)/2

A1 = {[ 2√7 + (2√7 + x) ].(√7 + x)} / 2 
A1 = [(4√7 + x) . (2√7 + x)] / 2
A1 = (8.7 + 4√7x + 2√7x + x²)/2
A1 = (x² + 6√7x + 56)/2

A2 = [(2√7 +x).(x)] / 2
A2 = (x² + 2√7x) / 2

A3 = (2√7 . 2√7) / 2 = (4.7) / 2 = 14

Atotal = Aquadrado menor + Aquadrado maior
Atotal = 28 + (2√7 + x)²
Atotal = 28 + x² + 4√7x + 28
Atotal = x² + 4√7x + 56

Atriangulo = Atotal - A1 - A2 - A3
At = (x² + 4√7x + 56) - {[(x² + 6√7x + 56)/2] + [(x² + 2√7x)/2] + 14}
At = (2x² + 8√7x + 112)/2 - {[(x² + 6√7x + 56)/2] + [(x² + 2√7x)/2] + [28/2]}
At = (2x² + 8√7x + 112)/2 - {x² + 6√7x + 56 + x² + 2√7x + 28}/2
At = (2x² + 8√7x + 112)/2 - {x² + x² + 6√7x + 2√7x + 28 + 56}/2
At = (2x² + 8√7x + 112)/2 - {2x² + 8√7x + 84}/2
At = (2x² + 8√7x + 112 - 2x² - 8√7x - 84}/2
At = (2x² - 2x² + 8√7x - 8√7x +112 - 84}/2
At = 28/2
At = 14 cm²

=)