Question

o conjunto b { (2,-1) , (-3,2) } é uma base do r2. Escrever o vetor genericodo r2 como combinacao linear de b

Answer 1

$\textnormal{Seja } (x,y) \textnormal{ o vetor gen\'erico do } \mathbb{R}^2. \\ \\ (x,y)=a(2,-1)+b(-3,2) \\ (x,y)=(2a,-a)+(-3b,2b) \\ (x,y)=(2a-3b,-a+2b) \\ \\ \textnormal{Para os vetores serem iguais, suas coordenadas devem ser iguais:} \\ \{2a-3b=x \\ \{-a+2b=y \\ \\ \textnormal{Vamos resolver o sistema:}$

$(II) \ -a + 2b = y \\ (II) \ -a = y - 2b \\ (II) \ a = 2b - y$

$(I) \ 2a-3b=x \\ (I) \ 2(2b-y)-3b=x \\ (I) \ 4b - 2y-3b=x \\ (I) \ \boxed{b = x+2y}$

$(II) \ -a + 2b = y \\ (II) \ -a + 2(x + 2y) = y \\ (II) \ -a + 2x + 4y = y \\ (II) \ -a = -3y-2x \\ (II) \ \boxed{ a = 2x+3y}$

Encontramos os valores de a e b em função de x e y. E, como foi dito no início, (x,y) = a(2,-1) + b(-3,2).

Ou seja, a resposta é:
(x,y) = (2x+3y)(2,-1) + (x+2y)(-3,2)