Question

Considere e as raízes reais e distintas da equação −−= e, assinale a alternativa que apresenta o valor da expressão +.

A) 13
B) 14
C) 7
D) −3
E) impossível de determinar

Obs: Gostaria de um passo a passo

Answer 1

Olá!

Primeiro, vamos resolver essa equação para obtermos as raízes. Usando Bhaskara, obtemos:

$\Delta = b^2 - 4ac \\ \Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-5) \\ \Delta = 4 + 20 \\ \Delta = 24 \\\\ x = \dfrac{-b \,\pm \sqrt{\Delta}}{2a} \\\\ x = \dfrac{-(-2) \, \pm \sqrt{24}}{2\times1} \\\\ \text{Fatorando } \sqrt{24} \text{, temos:} \\\\ \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \\\\ x = \dfrac{2\,\pm2\sqrt{6}}{2} \\\\ x = 1 \, \pm \sqrt{6} \\\\ \text{Logo:} \\\\ t = 1+\sqrt{6} \text{ e } u = 1-\sqrt{6}$

Portanto:

$t^2 + u^2 = (1+\sqrt{6})^2 + (1-\sqrt{6})^2$

Utilizando o quadrado da soma e da diferença:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab+b^2 \\\\ (a-b)^2 = a^2 - 2ab+b^2$

Então:

$t^2+u^2 = 1^2 + 2\times\sqrt{6}\;+(\sqrt{6})^2 +1^2 - 2\times\sqrt{6}\;+(\sqrt{6})^2 \\\\ t^2+u^2 = 1+6+1+6 \\\\ t^2+u^2 =14$

Resposta correta: alternativa B.

Esperto ter ajudado!
$-grytz$