Question

A figura abaixo representa um pedaço de madeira
de formato triangular de massa 1250 gramas. Desejase
cortá-la por uma reta r paralela ao lado BC e, que
intercepta o lado AB em D e o lado AC em E, de modo
que o trapézio BCED tenha 700 gramas de massa. A
espessura e a densidade da madeira são uniformes.
Determine o valor percentual da razão de AD por AB.
Considere: √11 = 3,32

Answer 1

$\rho \ = \ \frac{m}{V} \ \rightarrow \\ \\ \rho \ \rightarrow \ Densidade; \\ \\ m \ \rightarrow \ Massa; \\ \\ V \ \rightarrow \ Volume.$

$Para \ esta \ madeira, \ vamos \ considerar \ dimensionalmente \ o \ volume : \\ \\ \underbrace{V}_{volume \ dos \ peda\c{c}os} \ = \ \underbrace{A}_{\'area \ superficial} \ \cdot \ \underbrace{e}_{espessura}$

$E, \ sendo \ a \ espessura \ e \ a \ densidade \ dos \ peda\c{c}os \ constante, \\ temos \ que \ \Rightarrow \\ \\ \rho_{_{(madeira)}} \ = \ \frac{m_{_{(peda\c{c}o)}}}{V_{_{(peda\c{c}o)}}}$

$O \ \triangle ABC \ ser\'a \ dividido \ no \ \triangle ADE \ e \ no \ trap\'ezio \ BCDE. \\ \\ Observe \ que \ n\~ao \ h\'a \ acr\'escimo \ ou \ perda \ de \ massa \ no \ corte, \\ ou \ seja, \ temos \ \rightarrow \\ \\ m_{_{\triangle ABC}} \ = \ m_{_{\triangle ADE}} \ + \ m_{_{BCDE}} \ \rightarrow \\ \\ \underbrace{1250 \ g}_{(do \ enunciado)} \ = \ m_{_{\triangle ADE}} \ + \ \underbrace{700\ g}_{(do \ enunciado)} \ \rightarrow \\ \\ \\ m_{_{\triangle ADE}} \ = \ 1250 \ - \ 700 \ \rightarrow$

$\boxed{m_{_{\triangle ADE}} \ = \ 500 \ g} \ \Rightarrow \ Logicamente, \ esta \ \'e \ a \ massa \ do \\ peda\c{c}o \ triangular.$

$Se \ a \ densidade \ dos \ peda\c{c}os \ \'e \ constante, \ ent\~ao \ \longrightarrow \\ \\ \rho_{_{(\triangle ABC)}} \ = \ \rho_{_{(\triangle ADE)}} \ \rightarrow \\ \\ \frac{m_{_{(\triangle ABC)}}}{V_{_{(\triangle ABC)}}} \ = \ \frac{_{_{(\triangle ADE)}}}{_{_{(\triangle ADE)}}} \ \rightarrow \\ \\ \frac{1250 \ g}{A_{_{(\triangle ABC)}} \ \cdot \ \not{e}} \ = \ \frac{550 \ g}{A_{_{(\triangle ADE)}} \ \cdot \ \not{e}} \ \rightarrow \ Espessura \ tamb\'em \ constante! \ \rightarrow$

$\frac{1250 \ \not{g}}{550 \ \not{g}} \ = \ \frac{A_{_{\triangle ABC}}}{A_{_{\triangle ADE}}} \ \rightarrow \\ \\ \frac{25}{11} \ = \ \frac{A_{_{\triangle ABC}}}{A_{_{\triangle ADE}}} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{\frac{A_{_{\triangle ADE}}}{A_{_{\triangle ABC}}} \ = \ \frac{11}{25}} \ \Rightarrow \ Raz\~ao \ entre \ as \ \'areas \ dos \ peda\c{c}os!$

$Agora, \ sendo \ r \ uma \ reta \ \parallel \ a \ BC, \ ela \ conserva \ \^angulos. \\ \\ Ou \ seja, \ A\widehat{B}C \ = \ A\widehat{D}E \ e \ A\widehat{C}B \ = \ A\widehat{E}D$

$Al\'em \ disso, \ C\widehat{A}B \ = \ E\widehat{A}D$

$Logo, \ \triangle ABC \ \sim \ \triangle ADE \ por \ \^angulo \ - \ \^angulo - \ \^angulo. \\ \\ H\'a \ uma \ raz\~ao \ K \ de \ semelhan\c{c}a \ entre \ eles, \ sendo \ \rightarrow \\ \\ \longrightarrow \ K \ : \ Raz\~ao \ entre \ lados \ (1^\circ \ dimens\~ao); \\ \\ \longrightarrow \ K^2 \ : \ Raz\~ao \ entre \ \´areas \ (2^\circ \ dimens\~ao);$

$Ou \ seja, \ pegando, \ por \ exemplo, \ o \ lado \ AB \ de \ \triangle ABC \ e \\ seu \ correspondente \ AD \ de \ \triangle ADE, \ temos \ : \ \rightarrow \\ \\ \frac{AD}{AB} \ = \ K \ \rightarrow \\ \\ \Big(\frac{AD}{AB}\Big)^2 \ = \ K^2 \ \rightarrow \ Mas \ K^2 \ corresponde \ \`a \ segunda \ dimens\~ao \\ m\'etrica, \ ou \ seja, \ rela\c{c}\~ao \ superficial \ (\'areas) \rightarrow$

$\Big(\frac{AD}{AB}\Big)^2 \ = \ \frac{A_{_{\triangle ADE}}}{A_{_{\triangle ABC}}} \ \rightarrow \\ \\ \Big(\frac{AD}{AB}\Big)^2 \ = \ \frac{11}{25} \ \rightarrow \\ \\ \frac{AD}{AB} \ = \ \sqrt{\frac{11}{25}} \ \rightarrow \\ \\ \frac{AD}{AB} \ = \ \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{25}} \ \rightarrow \ \sqrt{11} \ \approx \ 3,32 \ \rightarrow \\ \\ \frac{AD}{AB} \ \approx \ \frac{3,32}{5} \ \rightarrow$

$\boxed{\boxed{\frac{AD}{AB} \ \approx \ 0,664 \ \rightarrow \ 66,4\%}} \ \Righatrrow \ Raz\~ao \ percentual \ entre \ AD \ e \ AB!$