Question

Qual a base do Sistema de Numeração em que 243 é o quadrado de 16?
Resposta: 11

Answer 1

Seja N a base que queremos descobrir. Pelo enunciado:

$\left(243\right)_N=\left(16\right)_N^2$

Vamos reescrever os números dos dois lados na base 10, que é a que utilizamos normalmente:

$(2\cdot N^2+4\cdot N^1+3\cdot N^0)=(1\cdot N^1+6\cdot N^0)^2\\\\ 2N^2+4N+3=(N+6)^2\\\\ 2N^2+4N+3=N^2+12N+36\\\\ N^2-8N-33=0\\\\\\ \Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot1\cdot(-33)\\\\ \Delta=64+132\Longrightarrow \Delta=196\\\\\\ N=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{-(-8)\pm\sqrt{196}}{2\cdot1}=\dfrac{8\pm14}{2}=4\pm7\Longrightarrow\begin{cases}\boxed{N=11}~\checkmark \\ N=-3~\times\end{cases}$

Como N não pode ser negativo, a única solução possível para a questão é N=11.