Question

(Fuvest-SP) No triângulo acutângulo ABC. a base AB mede 4 cm e a altura relativa a essa base também mede 4 cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M eN pertencem ao lado ÀB. P pertence ao lado BC e Q ao lado AC.O perímetro desse retângulo, em cm, é:a) 8 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18

Answer 1

$\hookrightarrow Observe \ a \ imagem \ anexada.$

$\bullet$$Observe \ os \ \^{a}ngulos \ destacados \ no \ desenho, e \ note \ que \ C\^QP =C\^AB\\ e \ C\^PQ= C\^BA, \ pois \ eles \ s\~ao \ correspondentes \ em \ virtude \ do\\ paralelismo \ dos \ segmentos \ \overline{QP} \ e \ \overline{AB}.$

$\bullet \ Diante \ disso, \ \Delta CQP \ \'e \ semelhante \ a \ \Delta CAB, \ pelo \ caso\\ \^Angulo \ \^Angulo \ (AA)$

$Sendo \ a \ altura \ relativa \ a \ base \ representada \ por \ \overline{CH}, \ temos \ as\\ seguintes \ propor\c{c}\~oes:$

$\dfrac{\overline{AB}}{\overline{QP}} = \dfrac{\overline{CH}}{4-\overline{JH}}$

$Considere \ que \ \overline{JH}= \ X, \ e \ que \ \overline{QP}= \ Y$

$\dfrac{4}{Y} = \dfrac{4}{4-X}$

$4(4-X)=4 \ . \ Y$

$16-4X= 4Y$

$Dividindo \ os \ dois \ lados \ da \ equa\c{c}\~ao \ por \ 4, \ temos \ que:$

$4-X= Y$

$\boxed{X+Y=4}$

$Sendo \ o \ per\'imetro \ (P) \ desse \ ret\^angulo \ igual \ a:$

$P= 2X+2Y$

$P= 2(X+Y)$

$P= 2 \ . \ 4$

$\boxed{\boxed{\bold{P= 8}}}$

$\boxed{Letra \ A}$