Question

Encontre a derivada das funções abaixo:

a) f(x) = $\frac{-cos(x)}{ \sqrt{x}}$

Answer 1

$\boxed{\boxed{f(x) = \frac{-cos(x)}{ \sqrt{x} } }}$

utilizando a regra do quociente
$\boxed{\boxed{( \frac{U}{V})' = \frac{U'*V - U*V'}{V^2} }}$

temos
$U = -cos(x)\\\\U' = -(-sen(x)) = sen(x)$

e
$V= \sqrt{x} \\\\V' = \frac{1}{2 \sqrt{x} }$

substituindo temos
$]f'(x)= \frac{sen(x)* \sqrt{x} -(-cos(x))*( \frac{1}{2 \sqrt{x} )} }{( \sqrt{x} )^2} \\\\ \boxed{\boxed{f'(x) = \frac{sen(x)* \sqrt{x} + \frac{cos(x)}{ 2\sqrt{x} } }{x} }}$

fazendo a soma no numerador

$sen(x)* \sqrt{x} + \frac{cos(x)}{ 2\sqrt{x} } }=\\\\= \frac{sen(x)* \sqrt{x}*2 \sqrt{x} +cos(x) }{2 \sqrt{x} } \\\\= \frac{2sen(x)*( \sqrt{x} )^2+cos(x)}{2 \sqrt{x} } \\\\= \frac{2sen(x)*x+cos(x)}{2 \sqrt{x} }$

$f'(x) = \frac{\frac{2sen(x)*x+cos(x)}{2 \sqrt{x} }}{x}\\\\ f'(x)= \frac{2sen(x)*x+cos(x)}{x*2 \sqrt{x} }$

simplificando no denominador
como
$x*2* \sqrt{x} = 2*x*x^{ \frac{1}{2} }= 2*x^{1+ \frac{1}{2} }= 2*x^{ \frac{3}{2} }= 2 \sqrt{x^3}$

resposta

$\boxed{\boxed{f'(x)= \frac{2x*sen(x)+cos(x)}{2 \sqrt{x^3} } }}$