Question

No desenvolvimento de (2x-1/2)^6 , ordenado pelas potências decrescentes de x, qual é o coeficiente do termo médio?

Answer 1

Utilizaremos o termo geral:

$\boxed{T_{p+1} = \begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix} \cdot a^{p} \cdot x^{n-p}}$

Se está elevado a 6, no desenvolvimento teremos 7 termos, se contarmos com o termo sozinho. 

Por isso, o termo médio será x³.

$T_{p+1} = \begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix} \cdot a^{p} \cdot x^{n-p} \\\\ T_{p+1} = \begin{pmatrix} 6 \\ p \end{pmatrix} \cdot (-\frac{1}{2})^{p} \cdot (2x)^{6-p} \\\\ T_{p+1} = \begin{pmatrix} 6 \\ p \end{pmatrix} \cdot (-\frac{1}{2})^{p} \cdot 2^{6-p} \cdot x^{6-p} \\\\\\\ x^{6-p} = x^{3} \\\\ \not x^{6-p} = \not x^{3} \\\\ 6-p = 3 \\\\ \boxed{p = 3}$

$T_{3+1} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot (-\frac{1}{2})^{3} \cdot 2^{6-3} \cdot x^{6-3} \\\\ T_{4} = \frac{6!}{(6-3)! \cdot 3!} \cdot (-\frac{1}{8}) \cdot 2^{3} \cdot x^{3} \\\\ T_{4} = \frac{\not 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \not 3!}{\not 3! \cdot \not 6} \cdot (-\frac{1}{8}) \cdot 8 \cdot x^{3} \\\\ T_{4} = 5 \cdot 4 \cdot (-1) \cdot x^{3} \\\\ \boxed{\boxed{T_{4} = -20x^{3}}}$

Portanto o coeficiente é -20.