Question

\lim_{x \to \infty} x-\sqrt{x^2+3}

Alguém pode me resolver esse limite, sem usal L'hopital ou algo do tipo? Obrigado desde já :)

Answer 1

Limite: $\lim_{x \to \infty} {x-\sqrt{x^2+3}}$

Será necessário manipular esse limite para tornar mais perceptível o seu resultado. Para isso, vamos multiplicar e dividir pelo "conjugado" do numerador. Isto é:
$\lim_{x \to \infty} x-\sqrt{x^2+3} = \lim_{x \to \infty} (x-\sqrt{x^2+3}) \cdot (\frac{x+\sqrt{x^2+3}}{x+\sqrt{x^2+3}})$

No numerador temos um produto notável,  nesse caso é o produto da soma pela diferença. Logo,
$\lim_{x \to \infty} (x-\sqrt{x^2+3}) \cdot (\frac{x+\sqrt{x^2+3}}{x+\sqrt{x^2+3}}) = \lim_{x \to \infty} \frac{\not x^2-\not x^2-3}{x+\sqrt{x^2+3}}$

Portanto, o limite inicial pode ser reescrito como:
$\lim_{x \to \infty} {x-\sqrt{x^2+3}}= \lim_{x \to \infty} -\frac{3}{x+\sqrt{x^2+3}}$

Agora, facilmente é possível notar que, se x tender ao infinito, o denominador irá fazer com que o limite resulte em zero. Por fim:
$\boxed{\lim_{x \to \infty} {x-\sqrt{x^2+3}} = 0}$