Question

A função f(x)=ax²+bx+c tem vértice no ponto (2,6) e uma raiz no ponto x=5 determine os valores dos coeficientes a,b e c

Answer 1

 f(x)= ax² +bx + c

temos os pontos  (2,6) e ( 5,0)

vamos substituir (2,6)        e                         (5,0)

a(2)² +b(2) + c = 6                                        a(5)² +b.(5) + c =0
4a + 2b + c = 6    (I)                                      25a + 5b + c =0   (II)

como o vértice tem o ponto (2,6)⇒(Xv ,Yv)


$calcular \\ Xv= \frac{-b}{2a} \\ \\ \frac{-b}{2a} =2 \\ -b=4a \\ \\ b=-4a$

substituir b por -4a na (I) e (II)

4a + 2(-4a) + c=6     ⇒⇒  4a - 8a + c = 6      ⇒⇒ -4a + c = 6 (I)
25a + 5(-4a) + c = 0 ⇒⇒ 25a - 20a + c = 0   ⇒⇒ 5a + c = 0  (II)

vamos resolver o sistema pela adição multiplicando (I) por (-1)

$4a-c=-6 \\ 5a+c=0 \\ ------ \\ 9a=-6 \\ a=- \frac{6}{9} \\ \\\fbox{ a=- \frac{2}{3} } \\ \\ substituir~~a~~em \\ \\ 5a+c=0 \\ 5.( \frac{-2}{3} )+c=0 \\ \\ - \frac{10}{3} +c=0 \\ \\ -10+3c=0 \\ 3c=10 \\ \\\fbox{ c= \frac{10}{3} } \\ \\ Se \\ b=-4a \\ \\ b=-4.(- \frac{2}{3} ) \\ \\\fbox{ b= \frac{8}{3} } \\ \\ logo \\ \\ a=- \frac{2}{3} ~~~b= \frac{8}{3} ~~~c= \frac{10}{3}$