Question

(UFSCAR-SP) Se os lados de um triângulo medem x, x+1 e x+2, então, para qualquer x real e maior que 1, o cosseno do maior ângulo interno desse triângulo é igual a:

a) x/x+1
b) x/x+2
c) x+1/x+2 
d) x-2/3x 
e) x-3/2x

Answer 1

Boa tarde

Como na questão não está garantido que o triângulo é retângulo , vamos usar

a lei dos cossenos.

(x+2)² = x² + (x+1)² - 2x(x+1)cosα

x²+4x+4=x²+x²+2x+1 - (2x²+2x)cosα

(2x²+2x)cosα = 2x²+2x+1 -(x²+4x+4)

(2x²+2x)cosα = x²-2x-3

cosα = (x²-2x-3) / (2x²+2x)

$cos \alpha = \dfrac{ x^{2} -2x-3}{2 x^{2} +2x}= \dfrac{(x+1)(x-3)}{2x(x+1)} \\ \\ \\ \boxed{cos \alpha = \dfrac{x-3}{2x} }$

Resposta :  letra    e)

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Brendha, que a resolução é simples, embora um pouco trabalhosa, pois teremos que usar a lei dos cossenos para a resolução.

i) É pedido o o cosseno do maior ângulo interno de um triângulo do qual sabemos que os seus lados têm as seguintes medidas: "x", "(x+1)" e "(x+2)".

ii) Agora veja: o maior ângulo interno será aquele ângulo que se opuser ao maior lado que, no caso, será o lado "(x+2)". Assim, chamando esse maior ângulo interno de "α" teremos a seguinte expressão, ao aplicar a lei dos cossenos:

(x+2)² = x² + (x+1)² - 2*x*(x+1)*cos(α) ----- desenvolvendo, teremos:
x²+4x+4 = x² + x²+2x+1 - (2x²+2x)cos(α) --- reduzindo os termos semelhantes no 2º membro, ficaremos assim:

x²+4x+4 = 2x² + 2x +1 - (2x²+2x)cos(α)

Veja: vamos passar para o 1º membro "-(2x²+2x)cos(α)" e vamos passar para o segundo membro "x²+4x+4". Com isso, ficaremos assim:

(2x²+2x)cos(α) = 2x²+2x+1 - x²-4x-4 ---- reduzindo os termos semelhantes no 2º membro, teremos:

(2x²+2x)cos(α) = x² - 2x - 3     . (I)

Agora note que a equação do 2º grau que está no 2º membro tem raízes iguais a: x' = -1 e x'' = 3. Então se a expressarmos em função de suas raízes ela ficará assim: (x-(-1))*(x-3) = (x+1)*(x-3). Logo, a expressão (I) acima ficará sendo esta, após substituirmos a equação do 2º membro em função de suas raízes:

(2x²+2x)cos(α) = (x+1)*(x-3) ---- isolando cos(α), teremos:
cos(α) = (x+1)*(x-3) / (2x²+2x) ---- vamos colocar "2x" em evidência no denominador. Com isso, ficaremos com:

cos(α) = (x+1)*(x-3)/2x*(x+1) ---- simplificando-se "(x+1)" do numerador com  "(x+1)" do denominador, iremos ficar apenas com:

cos(α) = (x-3) / 2x <--- Esta é a resposta. Opção "e". Ou seja, esta é a medida do cosseno do maior ângulo interno do triângulo da sua questão.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.