Question

Encontre um vetor que seja ortogonal aos vetores u = (1, -1, 0)   e  

e v = (0, -2, 1).

É obrigatório apresentar todo o raciocínio em sua resposta.

Answer 1

Encontrar um vetor $\mathsf{\overset{\to}{w}=(a,\,b,\,c)}$ de modo que

     •  $\mathsf{\overset{\to}{w}}$ é ortogonal ao vetor $\mathsf{\overset{\to}{u}=(1,\,-1,\,0)}$

     •  $\mathsf{\overset{\to}{w}}$ é ortogonal ao vetor $\mathsf{\overset{\to}{v}=(0,\,-2,\,1).}$


Dois vetores são ortogonais entre si somente se o produto escalar entre eles é igual a zero. Logo, devemos ter

     $\mathsf{\overset{\to}{w}\perp \overset{\to}{u}}\\\\ \mathsf{\overset{\to}{w}\cdot \overset{\to}{u}=0}\\\\ \mathsf{(a,\,b,\,c)\cdot (1,\,-1,\,0)=0}\\\\ \mathsf{1a-1b+0c=0}\\\\ \mathsf{a-b=0\qquad\quad (i)}$


     $\mathsf{\overset{\to}{w}\perp \overset{\to}{v}}\\\\ \mathsf{\overset{\to}{w}\cdot \overset{\to}{v}=0}\\\\ \mathsf{(a,\,b,\,c)\cdot (0,\,-2,\,1)=0}\\\\ \mathsf{0a-2b+1c=0}\\\\ \mathsf{-2b+c=0\qquad\quad (ii)}$


Resolva o sistema formado pelas equações (i) e (ii):

     $\left\{ \begin{array}{rcrcrcr} \mathsf{a}&\!\!\!-\!\!\!&\mathsf{b}&&&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{0}\\ &\!\!\!-\!\!\!&\mathsf{2b}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{c}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{0} \end{array} \right.$


Isole a na 1ª equação, e você obtém:

     $\mathsf{a=b}$


Isole c na 2ª equação, e você obtém:

     $\mathsf{c=2b}$


Fazendo b = λ ∈ ℝ, a solução do sistema fica

     $\left\{\begin{array}{l} \mathsf{a=\lambda}\\\mathsf{b=\lambda}\\\mathsf{c=2\lambda} \end{array}\right.\\\\\\\\ \mathsf{(a,\,b,\,c)=(\lambda,\,\lambda,\,2\lambda)}\\\\ \mathsf{(a,\,b,\,c)=\lambda\cdot (1,\,1,\,2)}\\\\ \mathsf{\overset{\to}{w}=\lambda\cdot (1,\,1,\,2)\qquad\quad com~\lambda\in\mathbb{R}}$

     $\mathsf{\overset{\to}{w}\parallel (1,\,1,\,2)}$        ✔


Resposta:  Qualquer vetor paralelo ao vetor (1, 1, 2) é solução para o problema apresentado.


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Bons estudos! :-)