Question

Escreva a expressão como produto de três fatores:
x^6+x^4+x^2y^2+y^4-y^6

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Answer 1

Olá!

Para escreber a expressão  $x^{6} + x^{4} + x^{2} * y^{2} + y^{4} - y^{6}$  como produto de três fatores, primeiro vamos a re- escrever  algumas potencias e re -agrupamos:

$(x^{2})^{3} - y^{6} + ( x^{4} + x^{2} * y^{2} + y^{4} )$


$(x^{2})^{3} - (y^{2} )^{3}+ ( x^{4} + x^{2} * y^{2} + y^{4} )$


já que ambos termos são cubos perfeitos, é fatorado usando a fórmula de diferença de cubos.

$a^{3} - b^{3} = (a-b) * (a^{2} + ab + b^{2})$

onde a = x² e b = y²

$(x^{2} - y^{2})*( (x^{2})^{2} + x^{2} y^{2} + y^{4)}$

já que ambos termos são quadrados perfeitos, é fatorado usando a fórmula de diferença de quadrados.

$a^{2} - b^{2} = (a+b) (a-b)$

onde a = x e b = y

$(x+y) (x-y) * ((x^{2})^{2} + x^{2} y^{2} + (y^{2})^{2}) + ( x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{4}$


Logo simplificando, reagrupando e reorganizando termos, e aplicando novamente a regra dos quadrados perfeitos, temos:

$(x+y) (x-y)( x^{2} + y^{2} +xy)( x^{2} + y^{2} - xy) ( x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{4})$

Reescreve o termo meio:

$(x+y) (x-y)( x^{2} + y^{2} +xy)( x^{2} + y^{2} - xy)( x^{4} + (2x^{2} y^{2} - x^{2} y^{2}) + y^{4})$


Reordena

$(x+y) (x-y)( x^{2} + y^{2} +xy)( x^{2} + y^{2} - xy)( x^{4} + 2x^{2} y^{2} + y^{4} - x^{2} y^{2})$


Aplique a regra de quadrados perfeitos para os três primeiros termos:

Onde a =x²+y² e b= xy

$(x+y)(x-y)( x^{2}+y^{2}+xy)( x^{2}+y^{2}-xy)$ $+( x^{2}+y^{2}+ xy)(x^{2}+y^{2}-xy)$


Agora é fatorado  $( x^{2}+y^{2}+ xy)(x^{2}+y^{2}-xy)$ e temos:


$( x^{2}+y^{2}+ xy)(x^{2}+y^{2}-xy)((x+y)(x-y)+1)$

Se desarrolla (x+y)(x-y) usando o meto foil, ou seja, a propriedade distributiva, e temos:

$( x^{2}+y^{2}+ xy) ( x^{2}+y^{2} -xy) (xx +x (-y) + xy + y(-y) + 1)$

Agora só têm que simplificar cada termo e combinar os termos semelhantes:

$( x^{2}+y^{2}+ xy) ( x^{2}+y^{2} -xy) ( x^{2} - xy +yx - y^{2} + 1)$

$( x^{2}+y^{2}+ xy) ( x^{2}+y^{2} -xy)( x^{2} + 0 - y^{2} + 1)$


E finalmente obtemos a expressão original como produto de três fatores:


$( x^{2}+y^{2}+ xy) ( x^{2}+y^{2} -xy)( x^{2} - y^{2} + 1)$