Question

Se AT e A-1 representam, respectivamente, a transposta e a inversa da matriz A = , então o determinante da matriz B = AT - 2A-1 é igual a:

Answer 1

Completando os dados da questão:

A matriz A é $A = \left[\begin{array}{ccc}2&3\\4&8\end{array}\right]$.

Queremos determinar $B = A^T - 2A^{-1}$.

As alternativas são:

a) $-\frac{111}{2}$

b) $-\frac{83}{2}$

c) -166

d) $\frac{97}{2}$

e) 62

Resolução:

Primeiramente, vamos determinar a matriz inversa e a transposta de A:

Matriz Transposta

Para isso, basta inverter os elementos da diagonal secundária, ou seja,

$A^T = \left[\begin{array}{ccc}2&4\\3&8\end{array}\right]$

Matriz Inversa

Para determinar a matriz inversa, temos que:

$A.A^{-1} = I$

sendo I a matriz identidade.

Considerando que $A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]$, então:

$\left[\begin{array}{ccc}2&3\\4&8\end{array}\right].\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

Daí, podemos montar o seguinte sistema:

{2a + 3c = 1

{2b + 3d = 0

{4a + 8c = 0

{4b + 8d = 1

Da segunda equação, temos que:

$b = -\frac{3d}{2}$

Substituindo na quarta equação:

$4(-\frac{3d}{2}) + 8d = 1$

-6d + 8d = 1

2d = 1

$d = \frac{1}{2}$

Logo, $b = -\frac{3}{4}$.

Da terceira equação, temos que:

a = -2c

Substituindo na primeira equação:

-4c + 3c = 1

-c = 1

c = -1

Logo, a = 2

Assim, a matriz inversa de A é:

$A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}2&-\frac{3}{4}\\-1&\frac{1}{2}\end{array}\right]$

Agora, vamos definir a matriz $B = A^T - 2A^{-1}$:

$B = \left[\begin{array}{ccc}2&4\\3&8\end{array}\right]-2. \left[\begin{array}{ccc}2&-\frac{3}{4}\\-1&\frac{1}{2}\end{array}\right]$

$B = \left[\begin{array}{ccc}2&4\\3&8\end{array}\right] - \left[\begin{array}{ccc}2&-\frac{3}{2}\\-2&1\end{array}\right]$

$B = \left[\begin{array}{ccc}-2&\frac{11}{2}\\5&7\end{array}\right]$

Logo, o determinante de B é:

det B = -2.7 - 5.(11/2) = -14 - 55/2 = -83/2

Alternativa correta: letra b).