Question

O centro de uma circunferência pertence a bissetriz dos quadrantes ímpares. Sabendo que os pontos (3,-1) e (7,3) pertencem a circunferência, determine sua equação

Answer 1

A bissetriz dos quadrantes ímpares tem a propriedade de todos os seus pontos possuírem x=y, isto é, podemos representar todos os seus pontos dessa forma:

(k,k) onde k é um número real qualquer. Como o centro da circunferência pertence à bissetriz, seja o centro C = (k,k)

A equação reduzida da circunferência é:

(x-a)² + (y-b)² = r² . Substituindo a e b por k e k, fica assim:

(x-k)² + (y-k)² = r²

Vamos agora seguir uns passos:

1) Substituir x e y por 3 e -1, respectivamente.

(3-k)² + (-1-k)² = r²

9 -6k +k² + 1 +2k +k²= r²

2k² -4k +10 = r²

2)Substituir x e y por 7 e 3, respectivamente.

(7-k)² + (3-k)² = r²

49 -14k +k² + 9 -6k +k² = r²

2k² -20k +58 = r²

3) como r²=r² , vamos igualar as duas expressões:

2k² -4k +10 = 2k² -20k +58

-4k +20k = 58 - 10

16k = 48

k = 3

4) Substituindo k=3 em qualquer umas daquelas duas equações que contém k e r, vem:

2k² -4k +10 = r²

2*(3)² -4*(3) + 10 = r²

2*9 -12 + 10 = r²

18 -12 +10 = r²

6 +10 = r²

r² = 16

Então: k=3 e r²=16

Como a equação é:

(x-k)² + (y-k)² = r² , fica assim:

(x-3)² + (y-3)² = 16