Question

Utilizando a relação trigonométrica fundamental sen2α + cos2α=1, calcule cos (arc sen 1/3)


3√2/3


2√2/3


2/3


√2/3


2√3/3

Answer 1

Seja $\alpha$ o ângulo, tal que

$\alpha =\mathrm{arcsen\,}\frac{1}{3}$

onde $-\frac{\pi}{2}\leq \alpha \leq \frac{\pi}{2}$ (este é o conjunto imagem da função arco-seno).


Então, temos que

$\mathrm{sen\,}\alpha=\frac{1}{3}$


A questão pede para calcular

$\cos \left(\mathrm{arcsen\,}\frac{1}{3} \right )=\cos \alpha$


Utilizando a relação fundamental, temos

$\mathrm{sen}^{2\,}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\\ \\ \cos^{2}\alpha=1-\mathrm{sen}^{2\,}\alpha\\ \\ \cos^{2}\alpha=1-\left(\frac{1}{3} \right )^{2}\\ \\ \cos^{2}\alpha=1-\frac{1}{9}\\ \\ \cos^{2}\alpha=\frac{9-1}{9}\\ \\ \cos^{2}\alpha=\frac{8}{9}$


Como $-\frac{\pi}{2}\leq \alpha \leq \frac{\pi}{2}$, então

$\cos \alpha\geq 0$

(o cosseno não é negativo no 1º e no 4º quadrantes)


Tirando a raiz quadrada da equação, chegamos a

$\cos \alpha=\sqrt{\frac{8}{9}}\\ \\ \cos \alpha=\frac{\sqrt{8}}{3}\\ \\ \cos \alpha=\frac{2\sqrt{2}}{3}\;\;\Rightarrow\;\;\boxed{\cos \left(\mathrm{arcsen\,}\frac{1}{3} \right)=\frac{2\sqrt{2}}{3}}$