Question

As Equações Diferenciais podem ter várias aplicações em diferentes áreas. Na química, por exemplo, pode ser aplicada no cálculo do decaimento radioativo de um material. Desta forma, propõe-se o seguinte enunciado, que será resolvido por meio de um modelo matemático.

Certo material radioativo decai a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se inicialmente há 100mg desse material e, se após 2 anos, 5% do material sofrer decaimento, determine a equação para a massa de material radioativo remanescente (em mg) em função do tempo (anos).

Answer 1

Olá.

Em muitas partes da ciência, é necessário fazer um modelo matemático dos fenômenos que ocorrem. Em diversos casos, as equações diferenciais(tanto as ordinárias quanto as parciais) são excelentes modelos para serem usados.

Para um decaimento radioativo, entendemos da teoria que é um fenômeno aleatório para cada átomo, então, quanto mais da substância tivermos, mais decomposição ocorrerá. Se for pouca massa, a decomposição será bem mais lenta. Vamos declarar nossas variáveis:

m = m(t) → massa da substância, em mg;

t → tempo, em anos (variável independente).

m(0) = 100 mg

m(2) = 95 mg (5% decaiu)

→ Essas duas condições para a massa são nossos valores iniciais. O problema, então, se trata de um PVI.

Portanto, elaboramos um modelo onde a taxa de decomposição é proporcional à quantidade de massa m no instante t. Assim, podemos escrever:

$\dfrac{dm}{dt}=-km$

O sinal ocorre porque a taxa de variação será negativa. Esta é uma EDO bem simples de resolver, vamos resolver pelo método da separação de variáveis, pois podemos isolar em um membro a variável massa e no outro a variável tempo.

$\dfrac{dm}{m} = -kdt$

Agora integramos indefinidamente os dois membros(ou então integre de 0 a "x", e depois use as condições iniciais).

$\displaystyle\int \dfrac{dm}{m} =\int -kdt+\mathcal{C}\\\\ \ell n|m| = -kt+\mathcal{C}\\ \\ e^{\ell n m} = e^{-kt+\mathcal{C}}$

Veja que retiramos o módulo da massa porque ela sempre será positiva. Agora, no segundo membro, podemos separar o expoente como um produto e aparecerá um termo constante $e^{\mathcal{C}}$ que consideraremos como uma nova constante C-tilde $\tilde{C}$ . No primeiro membro, pela propriedade dos logaritmos, escrevemos apenas como m, esse foi o motivo de aplicarmos a exponencial.

$m(t)=\tilde C\cdot e^{-kt}$

Perfeito. Temos a equação da massa, basta agora aplicarmos as condições iniciais:

$m(0) =100\\m(0)=\tilde C\cdot e^{-k\cdot0}\\ 100 = \tilde C\cdot 1\\ \\ \boxed{\tilde C = 100}$

$m(2)=95\\ m(2)=100\cdot e^{-k\cdot2}\\95=100\cdot e^{-2k}\\ e^{-2k} =0,95\\ \ell n e^{-2k}=\ell n0,95\\ -2k =\ell n 0,95 \\ k = -\frac12 \ell n0,95\\ \\ \boxed{k=\ell n (0,95^{-\frac12})}$

Sendo assim, teremos:

$m(t)=\tilde C\cdot e^{-kt}\\m(t)=100\cdot e^{-\ell n (0,95^{-\frac12})\cdot t} \\\\m(t)=100\cdot e^{\ell n (0,95^{\frac{t}{2}})}\\ \\ \boxed{m(t) = 100\cdot 0,95^{\frac{t}{2}}}$