Decomponha os números a seguir em fatores primos e determine quais deles são quadrados perfeitos
A)196
B)324
C)441
D)500
Respostas
Para saber se um número é quadrado perfeito após a decomposição em fatores primos, precisamos observar se ambos os fatores estão elevados a expoentes pares, de tal maneira que possam ser ordenados em potências de expoente 2. Por exemplo, fatorando 4, que é um quadrado perfeito fica 2 x 2 = 2²; 81 fatorado fica 3 x 3 x 3 x 3 = 3² x 3² = (3 x 3)² = 9² = 81. Vamos agora fatorar os números das alternativas e verificar quais são quadrados perfeitos.
a) 196/2 = 98/2 = 49/7 = 7/7 = 1. Temos assim que 196 = 2 x 2 x 7 x 7 = 2² x 7² = (2 x 7)² = 14² = 196. Logo 196 é quadrado perfeito
b) 324/2 = 162/2 = 81/3 = 27/3 = 9/3 = 3/3 = 1. Então, 324 = 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 3 = 2² x 3⁴ = 2² x (3²)² = 2² x 9² = (2 x 9)² = 18² = 324. Logo 324 é quadrado perfeito
c) 441/3 = 147/3 = 49/7 = 7/7 = 1. Logo, 441 = 3² x 7² = (3 x 7)² = 21² = 441. Portanto, 441 é quadrado perfeito
d) 500/2 = 250/2 = 125/5 = 25/5 = 5/5 = 1. Assim, 500 = 2 x 2 x 5 x 5 x 5 = 2² x 5³. Como o 5 tem expoente ímpar, logo, 500 não é quadrado perfeito