um quadrado,incrito em uma circunferencia, possui apótema igual a 4,5 Cm. Determine o comprimento dessa circunferencia.
Respostas
Veja que o apótema de um quadrado que esteja inscrito numa circunferência tem uma relação importante com o lado desse quadrado, que é esta
ap = L/2 , em que "ap" é o apótema e "L" é o lado do quadrado.
Assim, como o apótema mede 4,2 cm, então vamos fazer a devida substituição, ficando:
4,2 = L/2 --- multiplicando-se em cruz, teremos:
2*4,2 = L
8,4 = L --- ou, invertendo-se:
L = 8,4 cm <--- Esta é a medida do lado desse quadrado.
ii) Há uma outra relação importante entre a diagonal (d) de um quadrado e seu lado (L), que é esta:
d = L√(2) , em que "d" é diagonal do quadrado e "L" é o lado desse quadrado. Como já vimos que "L" vale 8,4cm, então vamos substituir, ficando assim:
d = 8,4√(2) cm <--- Esta é a medida da diagonal desse quadrado.
iii) Agora veja que a diagonal de um quadrado que esteja inscrito numa circunferência vale 2 vezes o raio (isso fica bem fácil de ver: basta você desenhar o quadrado dentro da circunferência e concluir que a diagonal vale duas vezes o raio da circunferência). Então vamos substituir "d" por "2r", ficando assim:
2r = 8,4√(2) ---- isolando "r", teremos:
r = 8,4√(2) / 2 ---- simplificando-se tudo por "2", ficaremos apenas com:
r = 4,2√(2) cm <--- Esta é a medida do raio da circunferência na qual está o quadrado inscrito.
iv) Agora vamos ao que está sendo pedido, que é o comprimento dessa circunferência.
Ora, como já temos que o raio (r) mede "4,2√(2) cm" e considerando que o comprimento (C) de uma circunferência é dado por:
C = 2π*r , então basta que substituamos "r" por "4,2√(2)" e teremos o comprimento pedido. Assim:
C = 2π*4,2√(2) cm ---- efetuando este produto, teremos:
C = 8,4π√(2) cm <--- Este será o comprimento da circunferência da sua questão em função de "π".
Se você quiser substituir π por "3,14", então é só fazer:
C = 8,4*3,14√(2)
C = 26,376√(2) cm <--- Este seria o comprimento da circunferência da sua questão, se você decidisse substituir π por "3,14".
E finalmente, se você decidir substituir √(2) por "1,414" (que é o valor aproximado de √(2) ), então teríamos para o comprimento da circunferência da sua questão:
C = 26,376*1,414 --- note que este produto dá "37,30" (bem aproximado). Logo:
C = 37,30 cm aproximadamente <--- Este seria o comprimento da circunferência da sua questão se você decidisse substituir √(2) por "1,414".
Todas s três respostas que demos aí em cima são equivalentes.
Por isso é que é importante que, em questões desse tipo, sempre sejam fornecidas as opções, pois, com isso, seria facilitada a resposta do "respondedor", que daria como resposta uma das opções dadas, dependendo do que fosse colocado nas respectivas opções.
C=2×3,14×4,5
C=6,28×4,5
Daí é só fazer o produto.