Question

ache três números em p.a crescente, sabendo-se que o seu produto é igual a soma dos três e que o maior vale a soma dos dois menores

Answer 1

Temos uma progressão aritmética crescente

$\left(a_{1},\,a_{2},\,a_{3} \right )$

de forma que

$\begin{array}{lc} \bullet\;\;a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}&\text{(i)}\\ \\ \bullet\;\;a_{3}=a_{1}+a_{2}&\text{(ii)} \end{array}$

Sendo $r$ a razão da P.A., temos que

$\begin{array}{lc} \bullet\;\;a_{2}=a_{1}+r&\text{(iii)}\\ \\ \bullet\;\;a_{3}=a_{1}+2r&\text{(iv)} \end{array}$


Substituindo as equações $\text{(iii)}$ e $\text{(iv)}$ na equação $\text{(ii)}$, temos

$a_{1}+2r=a_{1}+a_{1}+r\\ \\ a_{1}+2r=2a_{1}+r\\ \\ a_{1}-2a_{1}=r-2r\\ \\ a_{1}-2a_{1}=r-2r\\ \\ -a_{1}=-r\\ \\ a_{1}=r\;\;\;\;\text{(v)}$


Substituindo na equação $\text{(i)}$

$a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}\\ \\ a_{1}\cdot \left(a_{1}+r \right )\cdot \left(a_{1}+2r \right )=a_{1}+a_{1}+r+a_{1}+2r\\ \\ r\cdot \left(r+r \right )\cdot \left(r+2r \right )=r+\left(r+r \right )+\left(r+2r \right)\\ \\ r\cdot \left(2r \right )\cdot \left(3r \right )=6r\\ \\ 6r^{3}=6r\\ \\ r^{3}=r\\ \\ r^{3}-r=0\\ \\ r^{2}\cdot \left(r-1 \right )=0\\ \\ r^{2}=0\;\;\text{ ou }\;\;r-2=0\\ \\ r=0\text{ (n\~{a}o serve)}\;\;\text{ ou }\;\;r=1\\ \\ r=1$


Portanto, a progressão procurada é

$\left(1,\,2,\,3 \right )$