Question

Resolva o seguinte sistema, utilizando os métodos da substituição e comparação.

{x + y = 1
{4x + 7y = 10

Answer 1

Saudações.

A questão é descrita pelo seguinte sistema:

$\begin{cases}\mathsf{x + y = 1} \\\mathsf{4x + 7y = 10}\\\end{cases}$

Podemos resolver esta equação por meio de dois artifícios: método da substituição e comparação. Vejamos:

1º artifício: Método da substituição.

1ª etapa: Escolheremos a equação e a incógnita mais convenientes e determinamos o valor desta incógnita em relação à outra. Isolaremos o x na primeira equação do sistema.

$\mathsf{x + y = 1}\\\\\boxed{\mathsf{x = 1 - y}}$

2ª etapa: Na equação secundária fazemos a substituição (de x por 1 - y) e obtemos uma equação do primeiro grau com apenas uma incógnita.

$\mathsf{4x + 7y = 10}\\\\\mathsf{4(1 - y) + 7y = 10}\\\\\mathsf{4 - 4y + 7y = 10}\\\\\mathsf{3y = 10 - 4}\\\\\mathsf{\dfrac{\not 3y}{\not 3} = \dfrac{\not 6}{\not 3}}\\\\\boxed{\mathsf{y = 2}}$

3ª etapa: Usando y = 2, substitua na  equação mais simples, obtendo assim o valor de x.

$\mathsf{x + y = 1}\\\\\mathsf{x + 2 = 1}\\\\\mathsf{x = 1 - 2}\\\\\boxed{\mathsf{x = - 1}}$

4ª etapa: Criar o conjunto solução com o par ordenado resolvente do sistema.

$\boxed{\mathsf{S = \{(-1, 2)\}}}$

2º artifício: Método da comparação.

1ª etapa: Escolher uma incógnita a ser isolada nas duas equações e determinar o valor desta incógnita em relação à outra.

$\mathsf{x + y = 1 \qquad 4x + 7y = 10}\\\\\mathsf{x = 1 - y \qquad 4x = 10 - 7y}\\\\\boxed{\mathsf{x = 1 - y \qquad x = \dfrac{10 - 7y}{4}}}$

2ª etapa: Igualar os valores encontrados, já que as variáveis isoladas são iguais.

$\mathsf{1 - y = \dfrac{10 - 7y}{4}}\\\\\mathsf{4(1 - y) = 10 - 7y}\\\\\mathsf{4 - 4y = 10 - 7y}\\\\\mathsf{-4y + 7y = 10 - 4}\\\\\mathsf{3y = 6}\\\\\mathsf{\dfrac{\not 3y}{\not 3} = \dfrac{\not 6}{\not 3}}\\\\\boxed{\mathsf{y = 2}}$

3ª etapa: Usando y = 2, substitua na  equação mais simples, obtendo assim o valor de x.

$\mathsf{x = 1 - y}\\\\\mathsf{x = 1 - (+2)}\\\\\mathsf{x = 1 - 2}\\\\\boxed{\mathsf{x = - 1}}}$

4ª etapa: Criar o conjunto solução com o par ordenado resolvente do sistema.

$\boxed{\mathsf{S = \{(-1, 2)\}}}$

Perceba que não importa o método, a resposta sempre será a mesma.

Dúvidas? Comente.

Answer 2

        Sistema de equações de 1º grau

        x  +  y  =  1.................( i)

       4x  +  7y  =  10...........(ii)

       MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO:

       (I):..  isola x.. e... substitui.... em (ii)

       (i)..  x  =  1 - y

       (ii)..  4.x  +  7.y  =  10

       ......  4.(1 - y)  +  7.y  =  10

       ......   4  -  4.y  +  7.y  =  10

       ........- 4.y  + 7.y  =  10 - 4

       .......   3.y  =  6.....=>  y  =  6 : 3......=>  y  =  2

       x  =  1 - y  =  1 - 2.....=>  x  =  - 1

       S  =  {(x,  y)}  =  {( - 1,  2)}

       MÉTODO DA COMPARAÇÃO:

       Isola y nas duas equações:

       (i) :   x  +  y  =  1.......=>  y  =  1  -  x......... (*)

       (ii):  4x + 7y =  10...>   7.y  =  10  -  4x......=>  y  =  (10  -  4x) / 7...(**)

       (*)  =  (**)..... ( ambas representam y)

       ...=>  ( 10 - 4x) / 7  =  1  -  x........  ( multiplica as duas por 7)

       ......... 10  -  4x  =  7 . ( 1  -  x)

       ........  10  -  4x  =  7  -  7x

       ........  - 4x  +  7x  =  7  -  10

       ........  3.x  =  -  3......=>  x  =  - 3 : 3......=>   x  =  - 1

       y  =  1  -  x  =  1  - (- 1)  =  1 + 1................=>  y  =   2

       Solução:...  S  =  {(x,  y)}  =  {(- 1,  2)}