Question

Se i é a unidade imaginária, determine em cada caso o valor de A:
A= i + i² + i³ + ... + i⁴9 + i50
A= i • i² • i³ • ... • i19 • i20

Answer 1

O valor de A = i + i² + i³ + ... + i⁴⁹ + i⁵⁰ é -1 + i e o valor de A = i.i².i³. ... .i¹⁹.i²⁰ é igual a -1.

Observe que a sequência (i, i², i³, ..., i⁴⁹, i⁵⁰) é uma progressão geométrica de razão i, com 50 termos.

A fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica finita é dada por: $S=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$.

Como o primeiro termo é i, então:

$S=\frac{i(i^{50}-1)}{i-1}$

$S=\frac{i^{51}-i}{i-1}$.

O valor de i⁵¹ é -i. Logo:

$S=\frac{-i-i}{i-1}$

$S=\frac{-2i}{i-1}$.

Multiplicando o numerador e o denominador por -1 - i:

$S=\frac{-2i}{i-1}.\frac{-i-1}{-i-1}$

S = -1 + i.

Portanto, o valor de A = i + i² + i³ + ... + i⁴⁹ + i⁵⁰ é igual a -1 + i.

No caso de A = i.i².i³. ... .i¹⁹.i²⁰, podemos repetir a base e somar os expoentes.

A soma 1 + 2 + 3 + ... + 19 + 20 pode ser calculada utilizando a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética, ou seja, $S=\frac{(a_1+a_n).n}{2}$.

Então:

$S=\frac{(1+20).20}{2}$

S = 21.10

S = 210.

Portanto:

A = i²¹⁰

A = -1.

Para mais informações sobre progressões, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/18323068