(UECE 2019.1) Quantos são os valores inteiros que o número real k pode assumir, de modo que as raízes da equação x² – 3x + k = 0 sejam reais não nulas e de sinais contrários, e que a equação x² + kx + 1 = 0 não tenha raízes reais?
A) 1.
B) 3.
C) 0.
D) 2.
Respostas
Explicação:
Para que as raízes da equação x^2 - 3x + k= 0 sejam reais, de sinais contrarios e não nula seu delta precisa ser positivo. E para que a equação x^2 + kx + 1 = 0 não tenha raizes reais seu delta precisa ser negativo.
Resolvendo a primeira equação:
Delta = b^2 - 4ac
= (-3)^2 - 4.1.k = 9-4k
Para esse delta ser positivo o k precisa ser maior que 0 e menor que 3 já que 9 - 4.2= 1 , sendo 2 o maior número possivel para o delta ser positivo.
Resolvendo a segunda equação:
x^2 + kx + 1 = 0
Delta = k^2 - 4.1.1 = k^2 - 4
Para que a segunda equação não tenha raizes reais seu delta precisa ser menor que 0 entao
k^2-4<0
k^2<4
k<2
Portanto os valores que k pode assumir tem de ser maior que 0, visto na primeira equação e menor que 2 como foi observado na segunda equação, então o único valor possível dentre essas conclusões é o 1.
S={1}
Espero que tenha entendido. Estou no celular e fica difícil escrever.
Resposta:A
Explicação passo-a-passo:
A explicação do colega está um pouco equivocada. Se observar o texto, verá que ele deve ter raízes de sinais contrários. Com isso, K obrigatoriamente tem que ser NEGATIVO! Pois, pelas relações de Girard, o produto das raízes é C/A. Como o C é o próprio K e o A é 1. E como o produto de números com sinais contrários da negativo. Logo, K precisa ser NEGATIVO.
Para que as raízes da equação x^2 - 3x + k= 0 sejam reais, de sinais contrarios e não nula seu delta precisa ser positivo. E para que a equação x^2 + kx + 1 = 0 não tenha raizes reais seu delta precisa ser negativo.
Resolvendo a primeira equação:
Delta = b^2 - 4ac.
Logo , (-3)^2 - 4.1.k > 0
9-4K> 0
9> 4k
K< 9/4
Resolvendo a segunda equação:
x^2 + kx + 1 = 0
Delta = k^2 - 4.1.1 = k^2 - 4
Para que a segunda equação não tenha raizes reais seu delta precisa ser menor que 0 entao
k^2-4<0
k^2<4
-2<k<2
Portanto os valores que k pode assumir tem de ser menor que 0, visto na primeira equação e menor que 2 e maior que - 2, como foi observado na segunda equação, então o único valor possível dentre essas conclusões é o -1.
S={-1}