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(UFMG) O polinômio P(x) = x3 +(a + 3)x2 – 5x + b é divisível por (x + 1)(x – 2). Assim sendo o valor de P(2) é.
a) 0
b) – 6
c) – 1
d) – 8
Respostas
Resposta:
Alternativa (a)
Explicação passo-a-passo:
Olá.
Para resolver esta questão devemos lembrar do Método de Descartes: fazemos a subtração entre o grau do polinômio dividendo pelo grau do polinômio divisor (3 - 2 = 1). Logo, pelo Método de Descartes, o grau do quociente desta divisão deve ser menor que o do divisor. Neste caso, é grau 1 o grau do polinômio quociente.
Agora, sabemos:
P(x) = x³ +(a + 3)x² -5.x +b
Q(x) = x² -x -2 (já desenvolvido)
d(x) = c.x +d (o resultado da divisão P(x) por Q(x) )
r = 0 (como foi dito que P é divisível por Q, então o resto é zero)
Lembrando...
Montando a equação P(x) = Q(x) . d(x), temos:
x³ +(a + 3)x² -5.x +b + resto = (x² -x -2).(c.x +d)
x³ +(a + 3)x² -5.x +b +0 = (x² -x -2).(c.x +d)
x³ +(a + 3)x² -5.x +b = c.x³ -c.x² -2.c.x +d.x² -d.x -2.d
x³ +(a + 3)x² -5.x +b = c.x³ +(-c +d)x² +(-2.c -d)x -2..d
A partir da equação acima, usando o princípio da igualdade entre os coeficiente entre polinômios, montamos um pequeno sistema para descobrir os valores de a, b, c e d
1 = c
-5 = -2.c -d
a +3 = -c +d
b = -2.d
Resolvendo o sistema por substituição, temos:
-5 = -2.c -d => -5 = -2.1 -d => -5 = -2 -d => -5 +2 = -d => -3 = -d => d = 3
b = -2.d => b = -2.3 => b = -6
a +3 = -c +d => a +3 = -1 +3 => a = -1 +3 -3 => a = -1
Portanto, a = -1 b = -6 c = 1 d = 3
Nota: mesmo que usemos apenas a e b em P(x), é necessário resolver todo o sistema, pois a e b estão em função de outras variáveis.
Prosseguindo...
Agora, trocamos a e b por -1 e -6 em P(x):
P(x) = x³ +(a + 3)x² -5.x +b
P(x) = x³ +(-1 + 3)x² -5.x +(-6)
P(x) = x³ +2.x² -5.x -6
Em seguida, atribuímos o valor 2 para x, em fazemos as contas:
P(2) = 2³ +2.2² -5.2 -6
P(2) = 8 +8 -10 -6
P(2) = 16 - 16
P(2) = 0
Alternativa (a)
Até mais...