Question

Qual é o resultado de algarismo da unidade é 1, o do milhar 2 e oda centena 3. Qual deve ser o menor valor a ser colocado no algarismo da dezena para que este número seja divisível por 7?

Answer 1

Temos um número natural desconhecido $n$, que deve ser divisível por $7$. Onde

$\bullet\;\;$ o algarismo das unidades de $n$ é $1$;

$\bullet\;\;$ o algarismo das dezenas de $n$ é $x$, onde $x \in \left\{0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9 \right \}$;

$\bullet\;\;$ o algarismo das centenas de $n$ é $3$;

$\bullet\;\;$ o algarismo das unidades de milhar de $n$ é $2$;


Sendo assim, o número $n$ pode ser escrito assim:

$n=2\cdot 1000+3 \cdot 100+x \cdot 10+1\\ \\ n=2\,000+300+10x+1\\ \\ n=2\,301+10x$


Como $n$ é divisível por $7$, então podemos reescrever $n$ como

$n=7k$, para algum $k \in \mathbb{N}$


Então, chegamos a

$7k=2\,301+10x\\ \\ 7k=\left(7\cdot 328+5 \right )+10x\\ \\ 10x+5=7k-7\cdot 328\\ \\ 10x+5=7\cdot \left(k-328 \right )\\ \\ 5\cdot \left(2x+1 \right )=7\cdot \left(k-328 \right )$


Da equação acima, concluímos que

$5\cdot \left(2x+1 \right )$

é múltiplo de $7$, o que nos leva a afirmar que

$2x+1$ é multiplo de $7$.


O menor (e único) valor possível para $x$ é

$x=3$

pois

$2\cdot 3+1=7$ é múltiplo de $7$.


Logo, o valor procurado para o algarismo da dezena é $3$. E o número formado é $2\,331$.