Question

Alguém pode me ajudar nesta questão que foi proposta num vestibular chamado Escola Naval. Fiz mas estou em dúvida queria que alguém fizesse pra confirmar se realmente é letra d. Desde já obrigada.
Considere o problema de determinar o triângulo ABC, conhecidos C = 60º, AB = x e BC = 6. Podemos afirmar que o problema:
a) sempre admite solução, se x > 0.
b) admite duas soluções, se x > 3.
c) admite solução única, se x = 3.
d.) admite duas soluções, se 3√3 < x < 6.

Answer 1

Olá Rebeca!

Resposta:

$\boxed{\mathtt{d}}$

Explicação passo-a-passo:

Tome $\displaystyle \mathtt{\overline{AC} = \lambda}$. Assim, podemos aplicar a Lei dos Cossenos no triângulo ABC, veja:

$\\ \displaystyle \mathsf{x^2 = 6^2 + \lambda^2 - 2 \cdot 6 \cdot \lambda \cdot \cos 60^o} \\\\ \mathsf{x^2 = 36 + \lambda^2 - 12\lambda \cdot \frac{1}{2}} \\\\ \mathsf{\lambda^2 - 6\lambda + (36 - x^2) = 0}$

a) se fizermos x = 1 (que é maior que zero), o discriminante da equação acima será negativo, portanto, nenhuma raiz real.

b) se fizermos x = 4 (que é maior que três), Delta também será negativo.

c) para que a solução seja única, devemos ter $\displaystyle \mathtt{\Delta = 0}$ na equação $\displaystyle \mathtt{\lambda^2 - 6\lambda + (36 - x^2) = 0}$. Vejamos:

$\\ \displaystyle \mathsf{\Delta = 0} \\\\ \mathsf{36 - 4 \cdot (36 - x^2) = 0} \\\\ \mathsf{36 = 4(36 - x^2)} \\\\ \mathsf{9 = 36 - x^2} \\\\ \mathsf{x^2 = 27} \\\\ \boxed{\mathsf{x = 3\sqrt{3}}}$

Portanto, este item também é FALSO!

Quanto ao item d, já sabemos $\displaystyle \mathtt{3\sqrt{3}}$ é o 'divisor de águas' entre os valores que levam o discriminante a ser nulo e/ou maior que zero! Por fim, resta-nos encontrar o máximo valor assumido por ele nas condições propostas. Segue,

Pensando na parábola, sabemos que uma das condições de uma função polinomial de grau dois admitir duas raízes positivas e distintas, é que seu coeficiente linear (c) seja maior que zero. Isto posto,

$\\ \displaystyle \mathsf{c > 0} \\\\ \mathsf{36 - x^2 > 0} \\\\ \mathsf{\Rightarrow \boxed{\mathsf{- 6 < x < 6}}}$

Todavia, $\displaystyle \mathtt{x > 3\sqrt{3}}$.

Logo, $\displaystyle \boxed{\boxed{\mathsf{3\sqrt{3} < x < 6}}}$!!

Espero ter ajudado!!