Question

dadas as matrizes A= (3 2 7 5) e B= (1 1 -1 1) calcule A-¹+B²​

Answer 1

Resposta:

$A^{-1}+B^{2}=\left[\begin{array}{ccc}5&0\\-9&3\end{array}\right]$

Explicação passo-a-passo:

Para acharmos a matriz inversa utilizamos a relação:

A . Z = In (quando a matriz Z é inversa da matriz A)

Onde a In é a matriz identidade. A Matriz Identidade é definida quando os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1 e os outros elementos são iguais a 0 (zero).

$A=\left[\begin{array}{ccc}3&2\\7&5\end{array}\right] \\\\Z = \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right] \\\\In=\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right] \\\\\\A.Z=In\\\\\left[\begin{array}{ccc}3&2\\7&5\end{array}\right].\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

Multiplica-se cada elemento da primeira linha da primeira matriz por cada coluna da segunda matriz.   Por conseguinte, multiplica-se os elementos da segunda linha da primeira matriz pelas colunas da segunda.

$\left[\begin{array}{ccc}3&2\\7&5\end{array}\right].\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]\\\\\left[\begin{array}{ccc}3a+2c&3b+2d\\7a+5c&7b+5d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

Fazendo a equivalência dos elementos:

3a+2c=1

3b+2d=0

7a+5c=0

7b+5d=1

$\right]\begin{cases}3a+2c=1\\ 3b+2d=0&\\ 7a+5c=0&\\ 7b+5d=1&\end{cases}$

Resolvendo o sistema:

$\right]\begin{cases}3a+0b+2c+0d=1&\Rightarrow~*(+7)\Rightarrow 21a+0b+14c+0d=7(eq1) \\ 0a+3b+0c+2d=0&\\ 7a+0b+5c+0d=0&\Rightarrow *(-3)\Rightarrow -21a+0b-15c+0d=0(eq2)\\ 0a+7b+0c+5d=1&\end{cases}\\\\eq(1)+eq(2)=-c=7 \Rightarrow c=-7\\\\Na~eq(2)~com~c=-7\Rightarrow-21a-15(-7)=0\Rightarrow 21a=105\Rightarrow a=5$

$\right]\begin{cases}3a+0b+2c+0d=1&\\ 0a+3b+0c+2d=0&\Rightarrow*(+7)\Rightarrow 0a+21b+0c+14d=0(eq3)\\ 7a+0b+5c+0d=0&\\ 0a+7b+0c+5d=1&\Rightarrow *(-3)\Rightarrow 0a-21b+0c-15d=-3(eq4)\end{cases}\\\\eq(3)+eq(4)=-d=-3 \Rightarrow d=3\\\\Na~eq(3)~com~d=3\Rightarrow 21b+14(3)=0\Rightarrow 21b=-42\Rightarrow b=-2$

$A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}5&-2\\-7&3\end{array}\right]$

$B^{2}=\left[\begin{array}{ccc}1&1\\-1&1\end{array}\right]*\left[\begin{array}{ccc}1&1\\-1&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1-1&1+1\\-1-1&-1+1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0&2\\-2&0\end{array}\right]$

$A^{-1}+B^{2}=\left[\begin{array}{ccc}5&-2\\-7&3\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}0&2\\-2&0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}5&0\\-9&3\end{array}\right]$