Question

Por favor me ajuda.
Uma empresa de turismo aluga ônibus com capacidade para 50 pessoas a grupos de 35 pessoas ou mais. Quando um grupo contem exatamente 35 pessoas pessoas, cada pessoa paga R$ 60,00. Nos grupos maiores, o preço por pessoa é reduzido de R$ 1,00 para cada pessoa que exceder 35. Determine o tamanho do grupo para o qual a receita da empresa é máxima.


54 pessoas;


50 pessoas;


50 ou 51 pessoas;


47 ou 48 pessoas;


60 pessoas;

Answer 1

Resolvendo a questão utilizando equação do primeiro grau.

Equação fundamental da equação do primeiro grau:
ax+b=y

Primeiro ponto:
Para x = 35, teremos y = 60

Segundo ponto:
Para x = 36, teremos y = 59

Resolvendo o sistema de equações:
$\left \{ {{35a+b=60} \atop {36a+b=59}} \right.\\\\ Isolando\ b\ na\ primeira\ equa\c{c}\~ao:\\\\ b=60-35a\\\\ Trocando\ b\ na\ segunda\ equa\c{c}\~ao:\\\\ 36a+(60-35a)=59\\ 36a+60-35a=59\\ 36a-35a=59-60\\ \boxed{a=-1}$

$Trocando\ a\ na\ primeira\ equa\c{c}\~ao:\\\\ 35(-1)+b=60\\ -35+b=60\\ b=60+35\\ \boxed{b=95}$

Trocando a e b, na equação fundamental, teremos a seguinte equação da reta:
$y=-x+95\ \ \ \ \ \\\\ Termos:\ \ a=-1\ \ \ \ \ \ b=95$

A fórmula para encontrar a maximização é:
$X_v=-\dfrac{b}{2a}\\\\ Logo:\\ X_v=-\dfrac{95}{2(-1)}\\\\ X_v=\dfrac{95}{2}\\\\ \boxed{X_v=47,5\ \ \ (47\ ou\ 48\ pessoas)}$


Para tirarmos a prova real, podemos calcular as receitas para cada um dos valores (47 e 48), onde deverá ter o mesmo valor.

a) Para 47 pessoas, teremos R$ 12 a menos por pessoa (47-35=12), ficando um total por pessoa:
60 - 12 = 48
47 pessoas pagando R$ 48, teremos uma receita igual a:
47 * 48 = R$ 2.256,00

b) Para 48 pessoas, teremos R$ 13 a menos por pessoa (48-35=13), ficando um total por pessoa:
60 - 13 = 47
48 pessoas pagando R$ 47, teremos uma receita igual a:
48 * 47 = R$ 2.256,00

Bons estudos!

Answer 2

Receita → $R$

Pessoas          Preço
35                   60
35 + 1             60 - 1
35 + 2             60 - 2
. . .                 . . .
35 + x             60 - x

Número de pessoas → $35+x$

Preço por pessoa → $60-x$

$R=(35+x).(60-x)$

$R=2100-35x+60x- x^{2}$

$R=- x^{2} +25x+2100$

Receita máxima → $x_{max} = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-25}{2.(-1)} = \dfrac{25}{2} =12,5$

Como não faz sentido haver número fracionário para pessoas, consideremos os dois valores inteiros que sejam próximos do valor encontrado, ou seja, 12 e 13:

Para x=12 → o grupo deverá ter 35 + 12 = 47 pessoas

Para x=13 → o grupo deverá ter 35 + 13 = 48 pessoas

Resposta: 47 ou 48 pessoas