Question

a antiderivada de t2et dt é

Answer 1

Resposta:

$\mathsf{\displaystyle\int t^2 \cdot e^t \ dt \ = \ e^t \cdot \big(t^2 \ - \ 2\cdot t \ + \ 2\big) \ + C}$

Explicação passo-a-passo:

Integração por partes:

$\mathsf{t^2 \ = \ u \ \rightarrow \ 2\cdot t \ = \ \dfrac{du}{dx} \ \rightarrow \boxed{\mathsf{du \ = \ 2\cdot t \cdot dt}}}$

$\mathsf{e^t \cdot dt \ = \ dv \ \rightarrow \ v \ = \displaystyle\int e^t \cdot dt \ \rightarrow \ \boxed{\mathsf{v \ = \ e^t}}}$

Temos então:

$\mathsf{\displaystyle\int t^2 \cdot e^t dt \ = \ t^2 \cdot e^t \ - \ \displaystyle \int 2 \cdot t \cdot e^t \ dt}$

$\mathsf{\displaystyle\int t^2 \cdot e^t dt \ = \ t^2 \cdot e^t \ - \ 2 \cdot \underbrace{\mathsf{\displaystyle \int t \cdot e^t \ dt}}_{I}}$

Resolvendo $\mathsf{I}$ por partes:

$\mathsf{\displaystyle \int t \cdot e^t \ dt \ \rightarrow \ j \ = \ t \rightarrow \ \boxed{\mathsf{dj \ = \ dt}} \ | \ e^t \cdot dt \ = \ dn \ \rightarrow \ \boxed{\mathsf{n \ = \ e^t}}}$

$\mathsf{I \ = \ t \cdot e^t \ - \ \displaystyle\int e^t \ dt}$

$\boxed{\mathsf{I \ = \ t \cdot e^t \ - \ e^t}}$

Logo, temos:

$\mathsf{\displaystyle\int t^2 \cdot e^t dt \ = \ t^2 \cdot e^t \ - \ 2 \cdot \underbrace{\mathsf{(t \cdot e^t \ - \ e^t)}}_{I}}$

$\mathsf{\displaystyle\int t^2 \cdot e^t dt \ = \ t^2 \cdot e^t \ - 2\cdot t \cdot e^t \ + \ 2 \cdot e^t}$

Colocando $\mathsf{e^t}$ em evidência e adicionando a constante, temos:

$\boxed{\boxed{\mathsf{\displaystyle\int t^2 \cdot e^t dt \ = \ e^t \cdot \ (t^2 \ - \ 2\cdot t \ + \ 2) \ + \ C}}}$