Question

Os pontos A(2, -4) B(-2, 1) e C(-4, 5) são vértices de um triângulo.Determine :
a) as coordenadas do ponto medio
b) o comprimento das medianas
c) as coordenadas do baricentro
d) O perimetro do triangulo.

Pfv passo a passo

Answer 1

Anexei uma imagem do triângulo formado.

A) 
$P.M \: entre \: AB \\ \\ x = \frac{xa+xb}{2} \\ \\ x = \frac{2-2}{2} \\ \\ x = 0 \\ ----- \\ y = \frac{ya+yb}{2} \\ \\ y= \frac{-4+1}{2} \\ \\ y = -1,5 \\ -----\\ coordenadas:\\x=0\\y=-1,5$

$P.M \: entre \: AC \\ \\ x = \frac{xa+xc}{2} \\ \\ x = \frac{2-4}{2} \\ \\ x = -1 \\ ----- \\ y = \frac{ya+yc}{2} \\ \\ y= \frac{-4+3}{2} \\ \\ y = 0,5 \\ -----\\ coordenadas:\\x=-1\\y=0,5$

$P.M \: entre \: BC \\ \\ x = \frac{xb+xc}{2} \\ \\ x = \frac{-2-4}{2} \\ \\ x = -3 \\ ----- \\ y = \frac{yb+yc}{2} \\ \\ y= \frac{1+5}{2} \\ \\ y = 3 \\ -----\\ coordenadas:\\x=-3\\y=3$

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B)$Mediana \: A (Ponto \: Medio \: BC) \\ \\ Xm = -3 \\ Ym = 3 \\ \\ D_{a,m} = \sqrt{(xm-xa)^2 + (ym-ya)^2} \\ D_{a,m} = \sqrt{(-3-2)^2 + (3+4)^2} \\ D_{a,m} = \sqrt{25 + 49} \\ D_{a,m} = \sqrt{74} \\ D_{a,m} \approx 8.6 \\ \\ Mediana \: B (Ponto \: Medio \: AC) \\ \\ Xm = -1 \\ Ym = 0.5 \\ \\ D_{b,m} = \sqrt{(xm-xb)^2 + (ym-yb)^2} \\ D_{b,m} = \sqrt{(-1+2)^2 + (0.5-1)^2} \\ D_{b,m} = \sqrt{1+0.25} \\ D_{b,m} = \sqrt{1.25} \\ D_{b,m} \approx 1.12$

$Mediana \: C (Ponto \: Medio \: AB) \\ \\ Xm = 0 \\ Ym = -1.5 \\ \\ D_{c,m} = \sqrt{(xm-xc)^2 + (ym-yc)^2} \\ D_{c,m} = \sqrt{(0+4)^2+(-1.5-5)^2} \\ D_{c,m} = \sqrt{16+42.25} \\ D_{c,m} = \sqrt{58.25} \\ D_{c,m} \approx 7.6$

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C)$Baricentro \\ \\ X_g = \frac{xa+xb+xc}{3} \\ Y_g = \frac{ya+yb+yc}{3} \\ \\ X_g = \frac{2-2-4}{3} = \frac{-4}{3} = -1.33 \\ \\ Y_{g} = \frac{-4+1+5}{3} = \frac{2}{3} = 0.66 \\ \\ Coordenadas : \\ x = -1.33\\y=0.66$

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D) Perímetro = Soma dos Lados de um Triângulo:
Então pra resolver a questão você tem que achar a distância entre os pontos A,B e C do triângulo. Vou tentar resumir essa parte, porque já ficou muuuito cheio, hehe:

$D_{ab} = \sqrt{(xb-xa)^2 + (yb-ya)^2} \\ D_{ab} = \sqrt{(-2-2)^2 + (1+4)^2} \\ D_{ab} \approx 6.4 \\ \\ D_{ac} = \sqrt{(xc-xa)^2 + (yc-ya)^2} \\ D_{ac} = \sqrt{(-4-2)^2 + (5+4)^2} \\ D_{ac} \approx 10.8 \\ \\ D_{bc} = \sqrt{(xc-xb)^2 + (yc-yb)^2} \\ D_{bc} = \sqrt{(-4+2)^2 + (5-1)^2} \\ D_{bc} \approx 4.4$

Com esses valores, é só fazer a somatória:
$6.4 + 10.8 + 4.4 = 21.6$

Então o perímetro é 21,6