Question

Considere os pontos: A=(1 2), B=(2 -2) e C=(4 3). a equação da reta que passa pelo ponto A e pelo ponto medio do segmento BC é:


Por favor a resolução!! obrigado

Answer 1

Resposta:

A equação cartesiana da reta é dada por:

$r: y = -0.75x+2.75$

Explicação:

Uma reta que passa por dois pontos genéricos (x₁, y₁) e (x₂, y₂) pode ser escrita na forma de equação cartesiana, essa equação é dada por:

$r: y = m(x-x_i)+y_i$

Onde:

$m =\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Este m representa a taxa de variação da reta, o quanto ela sobe em y em relação a x, um m = 2, por exemplo, a reta sobe 2 unidades em y para cada unidade em x.

E xi e yi é somente os valores de x e y para um dos pontos, ou seja i pode ser 1 ou 2.

Deste modo obtemos a equação cartesiana da reta no $\mathbb{R}^2$.

O exercício nos pede a reta tal que passa pelo ponto (1, 2) e pelo ponto médio entre (2, -2) e (4, 3).

Primeiramente devemos encontrar o ponto médio, como o próprio nome já nos diz, o ponto deve ser tal que se encontre na metade do caminho entre os pontos, ou seja, suas coordenadas devem ser a média entre os dois ponto, assim,

Dado o ponto médio $M = (x_m, y_m)$ entre (2, -2) e (4, 3)

$(x_m, y_m) = \dfrac{1}{2}\left[\dfrac{}{}(2,-2) + (4,3)\dfrac{}{} \right]$

$(x_m, y_m) = \dfrac{1}{2}\times (6,1)$

$(x_m, y_m) = (3, \frac{1}{2})$

Sabemos as coordenadas do ponto, assim agora obteremos o valor de m:

$m =\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{0.5-2}{3-1}$

$m = \dfrac{-1.5}{2} = -0.75$

Ou seja, nossa reta é tal que para cada unidade andada em x para o lado positivo, nosso y cai 0.75 no sentido negativo.

Perceba que somente com o valor de m não é possível encontrar uma reta só, mas infinitas, já que:

a reta que passa por (0, 1) e (1, 0.25) tem o mesmo m que a reta que passa por (0, 10) e (2, 8.5) e claramente não são a mesma reta.

Então como fazer para obter a reta certa?

Bem, podemos fazer isso de vários métodos, mas um jeito bem fácil é completar a equação da reta, vou mostrar o que quero dizer:

Toda reta é da forma:

$r: y = ax+b$

Uma vez que encontramos o valor de m, e m é o único valor que acompanha x, então podemos afirmar que a = m, assim:

$r:y =mx+b$

Temos de encontrar o valor de b, como faremos? Podemos sair facilmente somente substituindo os valores de x e y para qualquer um dos valores de um dos pontos que temos, pode ser A ou M. Escolheremos A:

$r:y =-0.75x+b$

$y_A =-0.75x_A+b$

$2 =-0.75*1+b$

$b = 2+0.75 = 2.75$

Assim, nossa equação da reta se torna:

$r: y = -0.75x+2.75$

Extra:

Lembra-se da fórmula que apresentei no começo? Se utilizarmos ela também funciona pois é uma simples substituição literal, fizemos ela agora mesmo ao escolher o ponto A para substituir, a diferença é que mantemos as letras e não substituímos por números, se liga:

$y_i =mx_i+b$

Usaremos xi e yi pois pode ser qualquer um dos pontos.

Assim:

$b = y_i-mx_i$

Substituindo:

$r:y =mx+b$

$r:y =mx+y_i-mx_i$

$r:y =m(x-x_i)+y_i$

Obtemos a mesma fórmula.