Question

quantos valores reais de k verificam simultaneamente as igualdades sen (x) = k - 2 e cos (x) = 2 - k/2 ?

a) 0. b) 1. c) 2 d) 2. e) 4​

Answer 1

k = sen (x) +2

...

2.cos (x) = 4 - k

k = 4 - 2.cos (x)

Igualando:

sen (x) +2 = 4 -2.cos (x)

sen (x) -2 = -2.cos (x)

[ sen (x) -2] ² = [ -2.cos (x) ] ²

sen ² (x) -4.sen (x) +4 = 4.cos ² (x)

sen ² (x) -4.sen (x) +4 = 4.[1 -sen ² (x)]

sen ² (x) -4.sen (x) = -4.sen ² (x)

5 sen ² (x) -4.sen (x) = 0

Buscando as raízes:

Δ = (-4) ² -4.5.0 = 16

sen (x) = (4 ± √16)/2.5

sen (x) = 0

ou

sen (x) = 4/5

Substituição para verificar k:

I.

sen (x) = k-2

0 = k-2

k = 2

⇒

cos (x) = 2 -2/2 = 1

...

RTF: sen ² (x) + cos ² (x) = 1

0 ² + 1 ² = 1

1 = 1 ✓

II.

sen (x) = k-2

4/5 = k-2

k = 14/5

⇒

cos (x) = 2 - (14/5)/2 = 3/5

...

RTF: sen ² (x) + cos ² (x) = 1

(4/5) ² + (3/5) ² = 1

16/25 + 9/25 = 1

25/25 = 1

1 = 1 ✓

Resposta: Há dois (2) valores reais que satisfazem simultaneamente as igualdades, sendo k = 2 ou k = 14/5 .