Question

se f r → r é uma função definida por f(x) = 3x+2. Para provar que
lim x→1(3x+2)=5.

Devemos mostrar que dado e>0, existe um δ > 0 tal que

0 < |x-1| < δ→ |3x + 2| < e

para tanto, um valor conveniente para δ é?

Answer 1

Seja $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ a função dada por $f(x) = 3x + 2$.

A definição de limite diz que $\lim\limits_{x \to a} f(x) = L$ se, e só se:

$\forall\varepsilon > 0 \; \exists\delta > 0 \; \forall x \in \mathbb{R}: 0 < |x - a| < \delta \implies |f(x) - L| < \varepsilon.$

Isto significa que o valor $f(x)$ pode ser utilizado para estimar o valor $L$, a menos de um erro $\varepsilon$, sempre que o valor de $x$ utilizado seja suficientemente próximo de $a$.

De outro modo, significa que, tomando $x$ numa vizinhança de raio $\delta$ de $a$ obtemos uma imagem $f(x)$ numa vizinhança de raio $\varepsilon$ de $L$.

Neste caso temos $a = 1$ e $L = 5$, pelo que temos $\lim\limits_{x \to 1} f(x) = 5$ se, e só se:

$\forall\varepsilon > 0 \; \exists\delta > 0 \; \forall x \in \mathbb{R}: 0 < |x - 1| < \delta \implies |(3x+2) - 5| = |3x-3| < \varepsilon.$

A demonstração corresponde a mostrar que, dado um qualquer valor positivo de $\varepsilon$, é possível encontrar um valor positivo de $\delta$ que satisfaça a definição.

Seja então $\varepsilon > 0$ dado. Temos então:

$|3x - 3| < \varepsilon \iff |3(x-1)| < \varepsilon \iff 3|x-1| < \varepsilon \iff |x - 1| < \dfrac{\varepsilon}{3}.$

Notamos que obtivemos um limite superior para $|x-1|$, que poderemos considerar igual $\delta$, ou seja, tomamos:

$\delta = \dfrac{\varepsilon}{3}.$

A demonstração fica então completa: para cada valor $\varepsilon > 0$ dado, basta-nos tomar $\delta = \dfrac{\varepsilon}{3}$ para obter uma proposição verdadeira:

$|x-1| < \delta = \dfrac{\varepsilon}{3} \iff 3|x - 1| < \varepsilon \iff |3x-3| < \varepsilon \iff |3x + 2 - 5| < \varepsilon.$

Note-se que este valor não é único. Por exemplo, tomando $\delta = \dfrac{\varepsilon}{6} < \dfrac{\varepsilon}{3}$, obtemos o mesmo resultado:

$|x-1| < \delta = \dfrac{\varepsilon}{6} \iff 3|x - 1| < \dfrac{\varepsilon}{2} < \varepsilon \iff |3x-3| < \varepsilon \iff |3x + 2 - 5| < \varepsilon.$