Question

1. Dada a função quadrática f(x) = 2x2 – x – 3, determine:

 

a) Se a concavidade da parábola definida pela função será voltada para cima ou para baixo.
Tu
b) Os zeros da função.

c) O vértice da parábola definida pela função.

d) O esboço do gráfico.

Answer 1

Equação fundamental do segundo grau (quadrática):

$y=ax^2+bx+c$

Os termos da equação, são: a, b e c

Propriedades utilizadas:
Se valor do termo a for negativo, teremos uma parábola com concavidade para baixo.
Se valor do termo a for positivo, teremos uma parábola com concavidade para cima.

a) Conforme a propriedade informada acima, o teremos um valor de a igual 2, logo, ele é positivo, então, concavidade virada para cima.

b) Os zeros da função, é o que chamamos de raízes, ou seja, os pontos em que a parábola atravessa o eixo da horizonta (eixo x).

Podemos descobrir as raízes utilizando a fórmula de Bháskara:

$Termos:\ \ \ \ \ \ a=2\ \ \ \ b=-1\ \ \ \ c=-3\\\\ x=\dfrac{-b \pm\sqrt{b^2-4.a.c}}{2.a}\\\\ x=\dfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4.(2).(-3)}}{2.(2)}\\\\ x=\dfrac{1 \pm \sqrt{1+24}}{4}\\\\ x=\dfrac{1 \pm \sqrt{25}}{4}\\\\ x=\dfrac{1 \pm 5}{4}\\\\\\ x'=\dfrac{1 + 5}{4}\\\\ x'=\dfrac{6}{4}\\\\ \boxed{x'=\frac{3}{2}}\\\\ x''=\dfrac{1 - 5}{4}\\\\ x''=\dfrac{-4}{4}\\\\ \boxed{x''=-1}$

c) O vértice, podemos encontrar encontra-lo utilizando as duas funções abaixo.

Encontrando o valor x do vértice:

$x_v=\frac{-b}{2a}\\\\ x_v=\frac{-(-1)}{2(2)}\\\\ x_v=\frac{1}{4}=0,25$

Para encontrar o valor y do vértice, podemos fazer de duas formas:
1) Colocar o valor do x na fórmula, para encontrar valor de y
2) Utilizar a fórmula para valor y do vértice. Utilizarei esta:

$y_v=\frac{-\Delta}{4.a}\\\\ y_v=\frac{-(b^2-4.a.c)}{4.a}\\\\ y_v=\frac{-b^2+4.a.c}{4.a}\\\\ y_v=\frac{-(-1)^2+4.(2).(-3)}{4.(2)}\\\\ y_v=\frac{-1-24}{8}\\\\ y_v=\frac{-25}{8}$

Assim, ficamos o ponto do vértice igual a:

$P_v=[\frac{1}{4},\frac{-25}{8}]$

d) O esboço encontra-se no arquivo em nexo.

Bons estudos!