Question

Log na base 2 ( x 2+ 6x- 6) = log de x na base 2

Answer 1

$\log_{2}[x^2 + 6\cdot x - 6] = \log_{2}[x]$

Para poder remover os logaritmos, pode-se usar a seguinte propriedade:

$a^{\log_{a}[b]} = b$

Traduzindo: Se tivermos 2 elevado ao logaritmo de base 2, só sobra o logaritmando. Então, podemos fazer 2 elevado aos logaritmos dos dois lados da equação:

$2^{\log_{2}[x^2 + 6\cdot x - 6]} = 2^{\log_{2}[x]}$

Vai ficar:

$x^2 + 6\cdot x - 6 = x$

Passando o x para a esquerda, subtraindo:

$x^2 + 6\cdot x -x - 6 = 0$

Vamos chegar a:

$x^2 + 5 \cdot x - 6 = 0$

Isto é uma equação do 2° grau, podemos resolvê-la pela equação de Bhaskara:

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

Com a = 1, b = 5 e c = -6:

$x = \dfrac{-5 \pm \sqrt{5^2-4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1}$

$x = \dfrac{-5 \pm \sqrt{25+24}}{2}$

$x = \dfrac{-5 \pm \sqrt{49}}{2}$

$x = \dfrac{-5 \pm 7}{2}$

Calculando as duas raízes:

$x_1 = \dfrac{-5 + 7}{2}$

$x_1 = \dfrac{2}{2}$

$x_1 = 1$

e:

$x_2 = \dfrac{-5 - 7}{2}$

$x_2 = \dfrac{-12}{2}$

$x_2 = -6$

Só que tem um problema, no lado direito da equação, o x não pode ser negativo, porque não existe log de número de negativo, logo, descartamos $x_2$ e a única resposta é:

$\boxed{x = 1}$

Answer 2

Resposta:

S = { 1 }

Explicação passo-a-passo:

Dado logₐ b = logₐ c ⇒ b = c

log₂ ( x²+ 6x- 6) = log₂ x

C.E (condição de existência)

x² + 6x - 6 > 0  e x > 0

Basta igualar os logaritmandos.

x² + 6x - 6 = x

x² + 6x -6 - x = 0

x² + 5x - 6 = 0

$x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a} \\ou\\x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a} \\D = b^{2}  - 4ac\\\\D=5^{2}-4.1(-6)\\\\D=25+24\\\\D=49\\\\x=\frac{-5-7}{2}=\frac{-12}{2}=-6\\\\ou\\\\x=\frac{-5+7}{2}=\frac{2}{2}=1$

Verificando a C.E

(-6)² + 6(-6) - 6 = 36 - 36 - 6 = -6 < 0 (não serve)

1² + 6. 1 - 6 = 1 + 6 - 6 = 1 > 0 (serve)

S = { 1 }