Num losango, a razão entre as medidas das diagonais é igual a 3, e a distância entre os lados paralelos mede 6u.c. Com base nessa informação, conclui-se que a área desse losango mede, em u.a., A) 60 B) 64 C) 72 D) 84 E) 104
Respostas
Resposta:
A) 60 u.a.
Explicação passo-a-passo:
Um losango é um paralelogramo em que os 4 lados são iguais, e suas diagonais internas são perpendiculares entre si. Logo, o losango é formado pela junção de 4 triângulos retângulos congruentes (ou iguais).
Sendo "a" o lado do losango, logo "a" é a hipotenusa de um dos triângulos retângulos, e sendo b, c as diagonais internas do losango, então b/2 e c/2 são os catetos de cada um dos triângulos retângulos.
Como a razão das diagonais é 3, e considerando b>c, então b/c=3, ou b/2 / c/2 = 3.
A metade da distância aos lados paralelos é a própria altura h do triângulo retângulo com referência a hipotenusa "a", logo h= 6/2 = 3.
Portanto, a área de 1 triângulo retângulo, que equivale a 1/4 da área do losango, pode ser expressa por:
a. h/2 = a. 3/2 = (3/2).a
Mas a área do triângulo retângulo pode ser definida também como:
(b/2).(c/2)/2=
b.c/8=
b.c/8 . c/c=
(b/c).(c^2)/8=
Como b/c=3:
3.(c^2)/8=
(3/8).(c^2)
Logo, como as áreas são iguais:
(3/2).a = (3/8).(c^2)
a/(c^2) = (3/8)/(3/2)
a/(c^2) = (3/8).(2/3)
a/(c^2) = 2/8 = 1/4 (I)
Pelo Teorema de Pitágoras temos a relação:
a^2 = (b/2)^2 + (c/2)^2
a^2 = (b^2)/4 + (c^2)/4
4.(a^2) = b^2 + c^2
4.(a^2)/(c^2) = (b^2)/(c^2) + (c^2)/(c^2)
4.(a/c)^2 = (b/c)^2 + 1
Subst. b/c=3:
4.(a/c)^2 = (3)^2 + 1
4.(a/c)^2 = 9 + 1
4.(a/c)^2 = 10
(a/c)^2 = 10/4 = 5/2 (II)
Logo, temos o sistema:
a/(c^2) = 1/4 (I)
(a/c)^2 = 5/2 (II)
a/(c^2) = 1/4 (I)
(a^2)/(c^2) = 5/2 (II)
Em (I): a= (c^2)/4
Substituindo em (II):
([(c^2)/4]^2)/(c^2) = 5/2
[(c^4)/16]/(c^2) = 5/2
(c^2)/16 = 5/2
c^2= 16.5/2
c^2= 40
c= raiz(40)
Substitiindo c:
a= (raiz(40))^2/4
a= 40/4
a= 10
Como b/c=3, b=3.raiz(40)
Logo, a área do losango é dada por:
(3/2).a . 4=
(3/2).10 . 4=
30/2 . 4=
60 u.a.
Blz?
Abs :)