Question

10. (Enem) Um fabricante de bebidas, numa
jogada de marketing, quer lançar no mercado
novas embalagens de latas de aluminio para
os seus refrigerantes. As atuais latas de 350 ml
devem ser substituídas por uma nova emba-
lagem com metade desse volume, conforme
mostra a figura
De acordo com os dados anteriores qual é a relação entre o raio r’ da embalagem de 175ml e o raio r da embalagem de 350ml?

Answer 1

A relação entre o raio r' da embalagem de 175 ml e o raio r da embalagem de 350 ml é r = r'.

Primeiramente, observe que 350/2 = 175.

Isso significa que o volume do cilindro menor é igual a metade do volume do cilindro maior.

O volume de um cilindro é igual ao produto da área da base pela altura, ou seja, V = πr².h.

Sendo assim, vamos calcular o volume dos dois cilindros.

No cilindro maior, temos que o volume é igual a:

V' = πr².h.

No cilindro menor, temos que o volume é igual a:

V'' = π(r')².h/2

V'' = πr'².h/2.

Como dito inicialmente, temos que V'' = V'/2. Então:

πr'².h/2 = πr².h/2

r' = r.

Portanto, a relação é que os raios das bases são iguais.

Answer 2

Resposta: r = r'

Explicação passo-a-passo

Passo 1: o volume de um cilindro reto é medido pelo produto da área de sua base pela sua altura, $V_{cilindro} = A_{base} \cdot altura \Rightarrow V_{cilindro} \propto altura$ (lê-se: o volume do cilindro é diretamente proporcional à sua altura).

Passo 2: o volume do cilindro ser diretamente proporcional à sua altura quer dizer que, se altura aumentar 2 vezes seu volume também aumentará 2 vezes, ou se sua altura aumentar 3 vezes seu volume também aumentará 3 vezes, ou ainda, se sua altura diminuir 2 vezes (350 $\div$ 2 = 175) seu volume diminuirá duas vezes.

Passo 3: se o volume diminuiu 2 vezes porque a altura diminuiu 2 vezes, não foi necessário variar a área da base $\esquerda (A_{base} = \pi \cdot r^2 \direita)$, ou seja, não foi necessário mudar o raio da base, visto que $\pi$ é uma constante.