Question

Imagine este anúncio: Compre um apartamento em COPACABANA! O melhor de Copacabana, um por andar, vista para o mar, 600m2, 5 suítes, 6 vagas de garagem. Preço a vista pago em 60 dias nas seguintes condições:

DIA
VALOR A SER PAGO
1º dia
1 centavo
2º dia
2 centavos
3º dia
4 centavos
4º dia
8 centavos
...
...

e assim por diante - em cada um dos próximos dias o pagamento será o dobro do valor pago no dia anterior.

O valor desse imóvel parece ser atraente e à primeira vista, muito barato.
Para Pensar:

Qual o valor pago no último dia?

Qual o valor total pago ao longo dos 60 dias?

Comente se vale a pena adquirir o imóvel anunciado.
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Answer 1

A partir dos resultados, podemos concluir que o apartamento não deve ser comprado, pois seu valor total possui grandeza de 10¹⁸ centavos.

Esta questão está relacionada com progressão geométrica. A progressão geométrica é uma sequência de números com uma razão multiplicada a cada termo. Desse modo, a razão entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença é conhecida como razão.

Inicialmente, vamos calcular o valor pago no último dia. Para isso, vamos utilizar a equação do termo geral de uma progressão geométrica. Sabendo que o primeiro termo é igual a 1 e a razão é igual a 2. Com isso, o 60º termo será:

$a_{60}=1\times 2^{60-1}=5,7646\times 10^{17}$

Agora, vamos calcular a soma dos valores pagos nos 60 dias, utilizando a equação da soma de termos de uma PG finita. Com isso, temos o seguinte:

$S=\frac{1\times (2^{60}-1)}{2-1}=1,1529\times 10^{18}$