Question

O ângulo de elevação do Sol está diminuindo numa taxa de 0,25 rad/h. Quão rápido a sombra é projetada por um prédio de 400 metros quando o ângulo de elevação do Sol for π/6?

Answer 1

Utilizando trigonometria e derivação implicita, temos que a taxa de variação desta sombra é de - 400 metros por horas.

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente, usando trigonometria de triangulo retangulo, sabemos que quando este angulo for π/6, a sombra deste prédio é de:

$d=\frac{400}{tg(\frac{\pi}{6})}$

$d=\frac{400}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$

$d=\frac{1200}{\sqrt{3}}$

$d=\frac{1200\sqrt{3}}{3}$

$d=400\sqrt{3}$

E utilizando a relação deste angulo com estes dois lados:

$tg(\theta)=\frac{O}{A}$

Derivando implicitamento os dois lados:

$\frac{\theta'}{cos^2(\theta)}=\frac{O'}{A}-\frac{O}{A^2}.A'$

Sabemso a derivada Θ' que é a taxa de variação de 0,25. Sabemos que O' é 0, pois a altura do prédio não está mudando com o tempo. E queremos saber A' que é a taxa de variação da sombra, então substituindo os valores:

$\frac{\theta'}{cos^2(\theta)}=\frac{O'}{A}-\frac{O}{A^2}.A'$

$\frac{0,25}{cos^2(\pi /6)}=-\frac{400}{(400\sqrt{3})^2}.A'$

$\frac{0,25}{(\sqrt{3}/2)^2}=-\frac{1}{400.3}.A'$

$\frac{0,25}{3/4}=-\frac{1}{1200}.A'$

$\frac{1}{3}=-\frac{1}{1200}.A'$

$\frac{-1200}{3}=A'$

$-400=A'$

Assim a taxa de variação desta sombra é de - 400 metros por horas.