Question

Dê uma expressão, em função de cotg x, equivalente a \frac{cossec x - sen x}{sec x - cos x}

Answer 1

Começamos por recordar que:

$\csc x = \dfrac{1}{\sin x} \quad\textrm{e}\quad\sec x = \dfrac{1}{\cos x}.$

Podemos então reescrever o numerador da fração na forma:

$\csc x - \sin x = \dfrac{1}{\sin x} - \sin x = \dfrac{1-\sin^2 x}{\sin x} = \dfrac{\cos^2 x}{\sin x},$

onde utilizamos a fórmula fundamental da trigonometria na última igualdade:

$\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \iff \cos^2 x = 1 -\sin^2 x.$

Por sua vez, o denominador é:

$\sec x - \cos x = \dfrac{1}{\cos x} - \cos x = \dfrac{1-\cos^2 x}{\cos x} = \dfrac{\sin^2 x}{\cos x},$

onde usamos de novo a fórmula fundamental da trigonometria na última igualdade:

$\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \iff \sin^2 x = 1 -\cos^2 x.$

A fração é então:

$\dfrac{\csc x - \sin x}{\sec x - \cos x} = \dfrac{\frac{\cos^2 x}{\sin x}}{\frac{\sin^2 x}{\cos x}} = \dfrac{\cos^3 x}{\sin^3 x} = \left(\dfrac{\cos x}{\sin x}\right)^3 = \cot^3 x,$

onde se utilizou a definição de cotangente:

$\cot x = \dfrac{1}{\tan x} = \dfrac{\cos x}{\sin x}.$

Resposta: $\boxed{\dfrac{\csc x - \sin x}{\sec x - \cos x} = \cot^3 x}.$