Question

Use a indução matemática para estabelecer a seguinte desigualdade:
2^n > n², para n ≥ 5

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Suponha que valha para um certo n = k, com k > 5.

2^k > k^2. Multiplicando por dois ambos os membros fica 2^(k+1) > k^2 + k^2

k^2 + k^2 = k*k + k^2. Como k > 5 por hipótese, ao substituirmos k por 3 em (k)*k + k^2 fica (k)*k + k^2 > 3*k + k^2.

3*k + k^2 = k + 2*k + k^2 > 1 + 2*k + k^2. Pelo mesmo argumento anterior.

Temos que 2^(k+1) > k^2 + k^2 > 3*k + k^2 > 1 + 2*k + k^2. Logo por transitividade 2^(k+1) > 1 + 2*k + k^2 ou seja 2^(k+1) > (1+k)^2