11. Considere as três afirmações seguintes.
I. Se uma pirâmide tem 30 arestas, então ela tem 16 vértices.
II. Não existe prisma com 93 arestas.
III. Um poliedro convexo com 12 arestas e 7 vértices tem 7 faces.
Então, pode-se afirmar que
(A) I, II e III são verdadeiras.
(B) apenas I e III são verdadeiras.
(C) apenas I e II são verdadeiras.
(D) apenas II e III são verdadeiras.
(E) nenhuma delas é verdadeira.
Respostas
I. A afirmação é verdadeira. O número de vértices de uma pirâmide é equivalente ao número de lados da sua base somado de 1, enquanto o seu número de arestas é igual ao dobro do número de lados da sua base. Logo, se uma pirâmide tem 30 arestas, ela tem base pentadecagonal e, portanto, possui 16 vértices.
II. A afirmação é falsa. Em um prisma, o número de arestas é igual ao triplo do número de lados do polígono pelo qual ele é formado. Logo, para existir, o número de arestas supostas a um polígono deve ser divisível por 3. Como 93/3 = 31, esse prisma existe e possui faces hentriacontagonais (de 31 lados).
III. A afirmação é verdadeira. Conforme a relação de Euler, o número de arestas, vértices e faces de um poliedro convexo é relacionado pela igualdade V + F = 2 + A. Se 7 + 7 = 2 + 12 é uma igualdade verdadeira, então, o número de arestas, vértices e faces do poliedro está correto.
Então, pode-se afirmar que B) apenas I e III são verdadeiras.